Một tháp trung tâm kiểm soát không lưu ở sân bay cao \(100m\) sử dụng ra đa có phạm vi theo dõi \(600km\)được đặt trên đỉnh tháp. Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) có gốc \(O\) trùng với vị trí chân tháp, mặt phẳng \((Oxy)\) trùng với mặt đất sao cho trục \(Ox\) hướng về phía tây, trục \(Oy\) hướng về phía nam, trục \(Oz\) hướng thẳng đứng lên phía trên (đơn vị độ dài trên mỗi trục là kilômét).Một máy bay tại vị trí \(F\) cách mặt đất \(12km\), cách \(400km\) về phía tây và \(300km\) về phía bắc so với tháp trung tâm kiểm soát không lưu. Từ vị trí F, máy bay bay với tốc độ \(900km/h\), theo hướng của vectơ \[\overrightarrow a = (3;4;0)\] sau một giờ đến vị trí \(A\).

Lời giải

Đáp án: 0,75

Ta có \(0 < x < 0,9\). Gọi \(h\) là chiều cao của hình thang cân ta có \(h = \sqrt {0,{3^2} - {{\left( {\frac{x}{2} - \frac{{0,3}}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt { - 100{x^2} + 60x + 27} }}{{20}}\)

Diện tích đáy là

\[S\left( x \right) = \frac{1}{2}\left( {0,3 + x} \right)\frac{{\sqrt { - 100{x^2} + 60x + 27} }}{{20}} = \frac{1}{{400}}\left( {3 + 10x} \right)\sqrt { - 100{x^2} + 60x + 27} \].

\[\begin{array}{l}S'\left( x \right) = \frac{1}{{400}}\left[ {10\sqrt { - 100{x^2} + 60x + 27}  + \left( {3 + 10x} \right)\frac{{ - 200x + 60}}{{2\sqrt { - 100{x^2} + 60x + 27} }}} \right]\\ = \frac{1}{{40}}\left[ {\frac{{ - 100{x^2} + 60x + 27 + \left( {3 + 10x} \right)\left( { - 10x + 3} \right)}}{{\sqrt { - 100{x^2} + 60x + 27} }}} \right] = \frac{{ - 200{x^2} + 60x + 36}}{{40\sqrt { - 100{x^2} + 60x + 27} }}\\S'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 0,15\\x = 0,75\end{array} \right.\end{array}\]

Do chiều cao của máng là 3 m không đổi suy ra thể tích máng lớn nhất khi diện tích đáy lớn nhất.

Vậy \(x = 0,75\left( m \right)\) thì thể tích máng xối lớn nhất.

Lời giải

Đáp án: 15.

Ta có \(\overrightarrow {AB} \) cùng phương với \(\overrightarrow u \left( {2; - 2;1} \right)\)nên \(\frac{{540}}{2} = \frac{{{y_B} - 3}}{{ - 2}} = \frac{{{z_B}}}{1} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y_B} =  - 537\\{z_B} = 270\end{array} \right.\)\( \Rightarrow B\left( {550; - 537;270} \right)\)

Quãng đường \(AB = 810m\) thì cabin di chuyển hết 3 phút. Vậy để cabin di chuyển hết quãng đường \(AD = 4050m\) thì mất \(\frac{{4050}}{{810}}.3 = 15\) phút.