Một tháp trung tâm kiểm soát không lưu ở sân bay cao \(100m\) sử dụng ra đa có phạm vi theo dõi \(600km\)được đặt trên đỉnh tháp. Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) có gốc \(O\) trùng với vị trí chân tháp, mặt phẳng \((Oxy)\) trùng với mặt đất sao cho trục \(Ox\) hướng về phía tây, trục \(Oy\) hướng về phía nam, trục \(Oz\) hướng thẳng đứng lên phía trên (đơn vị độ dài trên mỗi trục là kilômét).Một máy bay tại vị trí \(F\) cách mặt đất \(12km\), cách \(400km\) về phía tây và \(300km\) về phía bắc so với tháp trung tâm kiểm soát không lưu. Từ vị trí F, máy bay bay với tốc độ \(900km/h\), theo hướng của vectơ \[\overrightarrow a = (3;4;0)\] sau một giờ đến vị trí \(A\).

Lời giải

a) Ta có:

* Chi phí xuất bản \[x\]cuốn tạp chí là \(C\left( x \right)\): \(C\left( x \right) = 0,0001{x^2} - 0,2x + 10000\) (vạn đồng).

* Chi phí phát hành\[x\]cuốn tạp chí là \(H\left( x \right)\): \(H\left( x \right) = 0,4x\) (vạn đồng).

Tổng chi phí \(T\left( x \right)\) (xuất bản và phát hành) cho \(x\) cuốn tạp chí là

\(T\left( x \right) = C\left( x \right) + H\left( x \right)\)

\(T\left( x \right) = \left( {0,0001{x^2} - 0,2x + 10000} \right) + 0,4x\)

\(T\left( x \right) = 0,0001{x^2} + 0,2x + 10000\) vạn đồng.

Mệnh đề a) là ĐÚNG.

b) Số tiền lãi \(L\left( x \right)\) khi in \(x\) cuốn tạp chí bằng Tổng số tiền doanh thu trừ đi tổng số tiền chi phí

Ta tìm hàm doanh thu:

Giá bán \(20\) nghìn đồng/cuốn \( = 2\) vạn đồng/cuốn.

Doanh thu từ bán \(x\) cuốn: \(2x\) (vạn đồng).

Khoản trợ giúp: \(90\) triệu đồng \( = 9000\) vạn đồng.

Tổng doanh thu \(R\left( x \right)\) là: \(R\left( x \right) = 2x + 9000\) (vạn đồng)

Số tiền lãi \(L\left( x \right)\) khi in \(x\) cuốn tạp chí là \(L\left( x \right) = R\left( x \right) - T\left( x \right)\)

\(L\left( x \right) = \left( {2x + 9000} \right) - \left( {0,0001{x^2} + 0,2x + 10000} \right)\)

\(L\left( x \right) =  - 0,0001{x^2} + \left( {2 - 0,2} \right)x + \left( {9000 - 10000} \right)\)

\(L\left( x \right) =  - 0,0001{x^2} + 1,8x - 1000\)

Mệnh đề b) là SAI

c) Để có lãi cần in bao nhiêu cuốn

Để có lãi, ta cần \(L\left( x \right) > 0\).

\( - 0,0001{x^2} + 1,8x - 1000 > 0 \Leftrightarrow \)\(573,85 < x < 17426.14\)

Vậy, để có lãi (in ra số nguyên cuốn), cần in từ \(574\) đến \(17426\) cuốn.

Mệnh đề c) là ĐÚNG

d) Hàm lãi \(L\left( x \right) =  - 0,0001{x^2} + 1,8x - 1000\) là một parabol có hệ số \(a =  - 0,0001 < 0\), nên hàm số đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của parabol.

\({x_{{\rm{max}}}} =  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{{1,8}}{{ - 0,0002}} = 9000\)

Lãi lớn nhất đạt được khi in \(9000\) cuốn.

Mệnh đề d) là SAI.

Lời giải

Đáp án: 0,75

Ta có \(0 < x < 0,9\). Gọi \(h\) là chiều cao của hình thang cân ta có \(h = \sqrt {0,{3^2} - {{\left( {\frac{x}{2} - \frac{{0,3}}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt { - 100{x^2} + 60x + 27} }}{{20}}\)

Diện tích đáy là

\[S\left( x \right) = \frac{1}{2}\left( {0,3 + x} \right)\frac{{\sqrt { - 100{x^2} + 60x + 27} }}{{20}} = \frac{1}{{400}}\left( {3 + 10x} \right)\sqrt { - 100{x^2} + 60x + 27} \].

\[\begin{array}{l}S'\left( x \right) = \frac{1}{{400}}\left[ {10\sqrt { - 100{x^2} + 60x + 27}  + \left( {3 + 10x} \right)\frac{{ - 200x + 60}}{{2\sqrt { - 100{x^2} + 60x + 27} }}} \right]\\ = \frac{1}{{40}}\left[ {\frac{{ - 100{x^2} + 60x + 27 + \left( {3 + 10x} \right)\left( { - 10x + 3} \right)}}{{\sqrt { - 100{x^2} + 60x + 27} }}} \right] = \frac{{ - 200{x^2} + 60x + 36}}{{40\sqrt { - 100{x^2} + 60x + 27} }}\\S'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 0,15\\x = 0,75\end{array} \right.\end{array}\]

Do chiều cao của máng là 3 m không đổi suy ra thể tích máng lớn nhất khi diện tích đáy lớn nhất.

Vậy \(x = 0,75\left( m \right)\) thì thể tích máng xối lớn nhất.