Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương không lớn hơn 10 000. Xác suất để số được chọn không chia hết cho cả 3,5 và 7 là $\frac{a}{b} (b>a>0, (a;b) = 1)$  Tính giá trị của biểu thức T = b - 2a. (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:  ____

 

Đáp án đúng là "858"

Phương pháp giải

Sử dụng công thức cộng xác suất.

Lời giải

Gọi \({A_1}\) là biến cố "Số được chọn chia hết cho 3".

Gọi \({A_2}\) là biến cố "Số được chọn chia hết cho 5".

Gọi \({A_3}\) là biến cố "Số được chọn chia hết cho 7".

Khi đó, xác suất cần tính là \(P\left( {\overline {{A_1}{A_2}{A_3}} } \right) = 1 - P\left( {{A_1} \cup {A_2} \cup {A_3}} \right)\).

Trong các số nguyên dương không vượt quá 10000 thì:

Có \(\left\lfloor {\frac{{10000}}{3}} \right\rfloor  = 3333\) số chia hết cho 3.

Có \(\left\lfloor {\frac{{10000}}{5}} \right\rfloor  = 2000\) số chia hết cho 5.

Có \(\left\lfloor {\frac{{10000}}{7}} \right\rfloor  = 1428\) số chia hết cho 7.

Có \(\left\lfloor {\frac{{10000}}{{15}}} \right\rfloor  = 666\) số chia hết cho 3 và 5.

Có \(\left\lfloor {\frac{{10000}}{{21}}} \right\rfloor  = 476\) số chia hết cho 3 và 7.

Có \(\left\lfloor {\frac{{10000}}{{35}}} \right\rfloor  = 285\) số chia hết cho 5 và 7.

Có \(\left\lfloor {\frac{{10000}}{{105}}} \right\rfloor  = 95\) số chia hết cho cả 3,5 và 7.

Khi đó, xác suất cần tính là:

\(1 - P\left( {{A_1} \cup {A_2} \cup {A_3}} \right) = 1 - \left( {P\left( {{A_1}} \right) + P\left( {{A_2}} \right) + P\left( {{A_3}} \right) - P\left( {{A_1}{A_2}} \right) - P\left( {{A_2}{A_3}} \right) - P\left( {{A_3}{A_1}} \right) + P\left( {{A_1}{A_2}{A_3}} \right)} \right)\)

\( = 1 - \left( {\frac{{3333 + 2000 + 1428 - 666 - 476 - 285 + 95}}{{10000}}} \right) = \frac{{4571}}{{10000}}\)

Vậy \(a = 4571,b = 10000 \Rightarrow T = b - 2a = 858\).