Mảnh đất vườn của nhà anh Điệp có một phần ranh giới cũng là một phần đường cong (C):\(y = \frac{{x + a}}{{2x + b}}\), bao quanh nó là sông nước. Với hệ trục tọa độ Oxy thích hợp, đơn vị trên mỗi trục là 10 mét thì đường cong (C) đi qua điểm \(\left( {2\,;\,\,3} \right)\) và có đường tiệm cận đứng \(x = \frac{1}{2}\). Hàng ngày anh Điệp phải dùng thuyền máy để vận chuyển trái cây từ khu vườn của mình đến hai tuyến đường \({\Delta _1}:2x + y - 4 = 0\) và \({\Delta _2}:x + 2y - 2 = 0\) cho những người lái buôn từ nơi khác đến. Anh Điệp cần xác định một vị trí \(M\left( {{x_0}\,;\,\,{y_0}} \right)\) thuộc khu vườn của mình để tổng các khoảng cách từ vị trí M đó đến hai tuyến đường \({\Delta _1},\,\,{\Delta _2}\) là bé nhất. Hỏi khoảng cách từ vị trí được chọn làm gốc tọa độ đến điểm M là bao nhiêu mét ( làm tròn đến hàng phần chục)?

a)Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

Gọi đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \[f(x)\] là \[y = {\rm{ax + b}}\]

Theo giả thiết ta có: \[\left\{ \begin{array}{l} - \frac{1}{2}a + b = 1\\3{\rm{a}} + b = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{2}{7}\\b = \frac{8}{7}\end{array} \right.\]

Suy ra cận xiên của hàm số có dạng \[y = \frac{2}{7}\left( {x + 4} \right)\]

Hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{2x + e}}\]được viết lại dưới dạng \[f\left( x \right) = \frac{2}{7}\left( {x + 4} \right) + \frac{d}{{2x + 1}}\]

Lợi nhận = Doanh thu – Chi phí \[P\left( x \right) = R\left( x \right) - f\left( x \right) = {x^2} + 2{\rm{x - }}\frac{2}{7}\left( {x + 4} \right) - \frac{d}{{2x + 1}}\]

Theo giả thiết lợi nhận thu về khi bán 200 sản phẩm bằng 5250USD.

Khi đó \[P\left( 2 \right) = 5,25 \Leftrightarrow \frac{{44}}{7} - \frac{d}{5} = 5,25 \Leftrightarrow \]\[d = \frac{{145}}{{28}}\]

Vậy \[f\left( x \right) = \frac{2}{7}\left( {x + 4} \right) + \frac{{145}}{{28}}.\frac{1}{{2x + 1}}\] có đạo hàm \[f'\left( x \right) = \frac{2}{7} - \frac{{290}}{{28{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{\sqrt {145}  - 2}}{4}(nhan)\\x = \frac{{ - \sqrt {145}  - 2}}{4}(loai)\end{array} \right.\]

Bảng biến thiên

Vậy số sản phẩm khi chi phí đạt giá trị nhỏ nhất là \(\frac{{\sqrt {145}  - 2}}{4}.100 \approx 251\) sản phẩm.

a) Sai.

b) Sai

Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(A'B\) và \(CE\) bằng khoảng cách giữa A’B và (EFC)

\( \Rightarrow d(A'B,CE) = d(A'B,({\rm{EF}}C)) = d(B;({\rm{EF}}C)) = d(A;({\rm{EF}}C)) = AK\)

Với H là hình chiếu của A lên EC, K là hình chiếu của A lên FH.

\( \Rightarrow \frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A{C^2}}} + \frac{1}{{A{E^2}}} + \frac{1}{{{\rm{A}}{{\rm{F}}^2}}} = \frac{1}{9} + \frac{1}{1} + \frac{1}{4} = \frac{{49}}{{36}} \Rightarrow AK = \frac{6}{7}\).

c) Sai.

Tam giác ABC vuông tại A \( \Rightarrow AB = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}}  = \sqrt {13 - 4}  = 3\)

\( \Rightarrow {V_{ltru}} = \frac{1}{2}.2.3.4 = 12\)

d) Đúng

Góc giữa đường thẳng \(A'B\) và mặt phẳng đáy \(\left( {ABC} \right)\) bằng A’BA

\( \Rightarrow \cos \widehat {A'BA} = \frac{{AB}}{{A'B}} = \frac{2}{{\sqrt {4 + 16} }} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\).