Trong cuộc gặp mặt dặn dò trước khi lên đường tham gia kì thi học sinh giỏi, có 10 bạn trong đội tuyển gồm 2 bạn đến từ lớp 12A, 3 bạn từ lớp 12B, 5 bạn còn lại đến từ 5 lớp khác (mỗi lớp một bạn). Thầy giáo xếp ngẫu nhiên các bạn kể trên ngồi vào một bàn dài có 10 ghế mà mỗi bên có 5 ghế xếp đối diện nhau. Xác suất để có học sinh cùng lớp ngồi đối diện nhau bằng \(\frac{a}{b}\)( với \(\frac{a}{b}\)là phân số tối giản).Tính \(a + b\)?

Đáp án: 34,5

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x = - \frac{b}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow b = - 1\).

Khi đó đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + a}}{{2x - 1}}\) qua \(\left( {2\,;\,\,3} \right) \Rightarrow 3 = \frac{{2 + a}}{{2.2 - 1}} \Rightarrow a = 7\); hàm số là (C).

Ta nhận thấy để khoảng cách từ điểm M thuộc khu vườn đến hai đường thẳng là nhỏ nhất thì điểm M phải thuộc đồ thị hàm số.

Gọi \(M\left( {{x_0}\,;\,\,\frac{{{x_0} + 7}}{{2{x_0} - 1}}} \right) \in \left( C \right),\,\,{x_0} > \frac{1}{2}\). Tổng khoảng cách từ M đến hai đường thẳng \({\Delta _1},\,\,{\Delta _2}\) là

\(d = d\left( {M\,,\,\,{\Delta _1}} \right) + d\left( {M\,,\,\,{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {2{x_0} + \frac{{{x_0} + 7}}{{2{x_0} - 1}} - 4} \right|}}{{\sqrt 5 }} + \frac{{\left| {{x_0} + 2 \cdot \frac{{{x_0} + 7}}{{2{x_0} - 1}} - 2} \right|}}{{\sqrt 5 }}\) ;

\(\sqrt 5 d = \left| {\frac{{4x_0^2 - 9{x_0} + 11}}{{2{x_0} - 1}}} \right| + \left| {\frac{{2x_0^2 - 3{x_0} + 16}}{{2{x_0} - 1}}} \right| = \frac{{4x_0^2 - 9{x_0} + 11}}{{2{x_0} - 1}} + \frac{{2x_0^2 - 3{x_0} + 16}}{{2{x_0} - 1}}\) (vì \(\left\{ \begin{array}{l}4x_0^2 - 9{x_0} + 11 > 0\\2{x_0} - 1 > 0\\2x_0^2 - 3{x_0} + 16 > 0\end{array} \right.\,,\,\,\forall {x_0} > \frac{1}{2}\)).

Đặt \(\sqrt 5 d = \frac{{6x_0^2 - 12{x_0} + 27}}{{2{x_0} - 1}} = g\left( x \right)\) với \({x_0} > \frac{1}{2}\).

Ta có: \(g'\left( x \right) = \frac{{12x_0^2 - 12{x_0} - 42}}{{{{\left( {2{x_0} - 1} \right)}^2}}}\); \(g'\left( x \right) = 0 \Rightarrow 12x_0^2 - 12{x_0} - 42 = 0 \Rightarrow {x_0} = \frac{{1 + \sqrt {15} }}{2} > \frac{1}{2}\).

Ta có: .

Dấu đẳng thức xảy ra khi \({x_0} = \frac{{1 + \sqrt {15} }}{2}\)\( \Rightarrow M\left( {\frac{{1 + \sqrt {15} }}{2}\,;\,\,\frac{{1 + \sqrt {15} }}{2}} \right)\).

Khoảng cách OM trên thực tế là mét.

a)Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

Gọi đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \[f(x)\] là \[y = {\rm{ax + b}}\]

Theo giả thiết ta có: \[\left\{ \begin{array}{l} - \frac{1}{2}a + b = 1\\3{\rm{a}} + b = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{2}{7}\\b = \frac{8}{7}\end{array} \right.\]

Suy ra cận xiên của hàm số có dạng \[y = \frac{2}{7}\left( {x + 4} \right)\]

Hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{2x + e}}\]được viết lại dưới dạng \[f\left( x \right) = \frac{2}{7}\left( {x + 4} \right) + \frac{d}{{2x + 1}}\]

Lợi nhận = Doanh thu – Chi phí \[P\left( x \right) = R\left( x \right) - f\left( x \right) = {x^2} + 2{\rm{x - }}\frac{2}{7}\left( {x + 4} \right) - \frac{d}{{2x + 1}}\]

Theo giả thiết lợi nhận thu về khi bán 200 sản phẩm bằng 5250USD.

Khi đó \[P\left( 2 \right) = 5,25 \Leftrightarrow \frac{{44}}{7} - \frac{d}{5} = 5,25 \Leftrightarrow \]\[d = \frac{{145}}{{28}}\]

Vậy \[f\left( x \right) = \frac{2}{7}\left( {x + 4} \right) + \frac{{145}}{{28}}.\frac{1}{{2x + 1}}\] có đạo hàm \[f'\left( x \right) = \frac{2}{7} - \frac{{290}}{{28{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{\sqrt {145}  - 2}}{4}(nhan)\\x = \frac{{ - \sqrt {145}  - 2}}{4}(loai)\end{array} \right.\]

Bảng biến thiên

Vậy số sản phẩm khi chi phí đạt giá trị nhỏ nhất là \(\frac{{\sqrt {145}  - 2}}{4}.100 \approx 251\) sản phẩm.