Một chiếc máy bay đang bay trên không trung. Xét hệ trục tọa độ Oxyz được gắn như hình vẽ, trong đó gốc \(O\) là vị trí của trạm kiểm soát không lưu và \(M\left( {x;y;z} \right)\) (km) biểu thị vị trí máy bay trên không trung. Tại thời điểm 6h máy bay đang ở vị trí \(\left( {50;120;4} \right)\) và chuyển động với vận tốc \(\vec v = \left( {300;400;3} \right)\) (km/h)

Lời giải

Đáp số : 5

Gọi \(M,I\)lần lượt là trung điểm \(CD,\,SC\).

Theo giả thiết ta có tam giác \(ACD\) đều. Suy ra \(AM = \frac{{AD\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 a\).

Kẻ \(AH \bot SM\,\,\left( {H \in SM} \right)\) thì \(AH \bot \left( {SCD} \right)\).

Ta có \(GI = \frac{1}{3}AI\) nên \(d\left( {G,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{1}{3}d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{1}{3}AH\)

\( = \frac{1}{3}.\frac{{AM.SA}}{{\sqrt {A{M^2} + S{A^2}} }} = \frac{1}{3}.\frac{{\sqrt 3 a.\sqrt 6 a}}{{\sqrt {3{a^2} + 6{a^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 a}}{3}\)

Vậy \(d\left( {G,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{{\sqrt 2 a}}{3}\).

Đáp án: 34,5

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x = - \frac{b}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow b = - 1\).

Khi đó đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + a}}{{2x - 1}}\) qua \(\left( {2\,;\,\,3} \right) \Rightarrow 3 = \frac{{2 + a}}{{2.2 - 1}} \Rightarrow a = 7\); hàm số là (C).

Ta nhận thấy để khoảng cách từ điểm M thuộc khu vườn đến hai đường thẳng là nhỏ nhất thì điểm M phải thuộc đồ thị hàm số.

Gọi \(M\left( {{x_0}\,;\,\,\frac{{{x_0} + 7}}{{2{x_0} - 1}}} \right) \in \left( C \right),\,\,{x_0} > \frac{1}{2}\). Tổng khoảng cách từ M đến hai đường thẳng \({\Delta _1},\,\,{\Delta _2}\) là

\(d = d\left( {M\,,\,\,{\Delta _1}} \right) + d\left( {M\,,\,\,{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {2{x_0} + \frac{{{x_0} + 7}}{{2{x_0} - 1}} - 4} \right|}}{{\sqrt 5 }} + \frac{{\left| {{x_0} + 2 \cdot \frac{{{x_0} + 7}}{{2{x_0} - 1}} - 2} \right|}}{{\sqrt 5 }}\) ;

\(\sqrt 5 d = \left| {\frac{{4x_0^2 - 9{x_0} + 11}}{{2{x_0} - 1}}} \right| + \left| {\frac{{2x_0^2 - 3{x_0} + 16}}{{2{x_0} - 1}}} \right| = \frac{{4x_0^2 - 9{x_0} + 11}}{{2{x_0} - 1}} + \frac{{2x_0^2 - 3{x_0} + 16}}{{2{x_0} - 1}}\) (vì \(\left\{ \begin{array}{l}4x_0^2 - 9{x_0} + 11 > 0\\2{x_0} - 1 > 0\\2x_0^2 - 3{x_0} + 16 > 0\end{array} \right.\,,\,\,\forall {x_0} > \frac{1}{2}\)).

Đặt \(\sqrt 5 d = \frac{{6x_0^2 - 12{x_0} + 27}}{{2{x_0} - 1}} = g\left( x \right)\) với \({x_0} > \frac{1}{2}\).

Ta có: \(g'\left( x \right) = \frac{{12x_0^2 - 12{x_0} - 42}}{{{{\left( {2{x_0} - 1} \right)}^2}}}\); \(g'\left( x \right) = 0 \Rightarrow 12x_0^2 - 12{x_0} - 42 = 0 \Rightarrow {x_0} = \frac{{1 + \sqrt {15} }}{2} > \frac{1}{2}\).

Ta có: .

Dấu đẳng thức xảy ra khi \({x_0} = \frac{{1 + \sqrt {15} }}{2}\)\( \Rightarrow M\left( {\frac{{1 + \sqrt {15} }}{2}\,;\,\,\frac{{1 + \sqrt {15} }}{2}} \right)\).

Khoảng cách OM trên thực tế là mét.