Một chất điểm chuyển động theo quy luật vận tốc \(v\left( t \right)\left( {{\rm{m/s}}} \right)\) có dạng đường parapol khi \(0 \le t \le 4\) và có dạng đường thẳng khi \(4 \le t \le 9\). Cho đỉnh parapol là \(I\left( {2;1} \right)\). Hỏi quãng đường đi được của chất điểm trong thời gian \(0 \le t \le 10\left( s \right)\) là bao nhiêu mét?

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Ứng dụng của tích phân.

Lời giải

Gọi parapol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\) khi \(0 \le t \le 4\)

Do \(\left( P \right)\) đi qua hai điểm \(I\left( {2;1} \right),A\left( {0;5} \right)\)

Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4a + 2b + c = 1}\\{c = 5}\\{4a + b = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1}\\{b = - 4}\\{c = 5}\end{array}} \right.} \right.\)

Quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian \(0 \le t \le 4\) là \(S = \int\limits_0^4 {\left( {{x^2} - 4x + 5} \right)dx} = \frac{{28}}{3}\left( m \right)\)

Ta có \(f\left( 4 \right) = 5\)

Gọi đường thẳng \(d:y = ax + b\) khi \(4 \le t \le 9\) và \(d\) đi qua hai điểm \(B\left( {4;5} \right),C\left( {9;0} \right)\) nên

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4a + b = 5}\\{9a + b = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = - 1}\\{b = 9}\end{array}} \right.} \right.\)

Quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian \(4 \le t \le 9\) là \(S = \int\limits_4^9 {\left( { - x + 9} \right)dx} = \frac{{25}}{2}\left( m \right)\)

Vậy tổng quãng đường chất điểm đi được trong thời gian \(0 \le t \le 9\) là \(S = \frac{{28}}{3} + \frac{{25}}{2} = \frac{{131}}{6}\).