Xét hình chóp S. ABCD có đáy là một hình bình hành. Gọi M là trung điểm cạnh SB. Mặt phẳng (P) đi qua M , song song với mặt phẳng (SAD) chia khối chóp S. ABCD thành hai phần. Tính tỉ số thể tích giữa phần có thể tích bé hơn và phần có thể tích lớn hơn. (nhập đáp án vào ô trống, kết quả viết dưới dạng phân số tối giản)

Đáp án:  _____

 

Đáp án đúng là "5/11"

Phương pháp giải

Sử dụng mối liên hệ giữa các khối để tính tỉ số thể tích.

​

Do \(\left( P \right)\) qua \(M\) và song song với \(\left( {SAD} \right)\) nên \(\left( P \right)\) cắt các đoạn \(SC,DC,AB\) tại các điểm \(N,P,Q\) sao cho \(MN//PQ//AD,NP//SD,MQ//SA\).

Do \(M\) là trung điểm \(SB\) nên khi đó \(N,P,Q\) là trung điểm của \(SC,DC,AB\).

Khi đó, mặt phẳng \(\left( P \right)\) chia khối chóp \(S.ABCD\) thành hai khối \(SADMNPQ\) và \(BCMNPQ\) như hình vẽ.

Có: \(\frac{{{V_{MBCPQ}}}}{{{V_{SABCD}}}} = \frac{{\frac{1}{3}d\left( {M;\left( {BCPQ} \right)} \right).{S_{BCPQ}}}}{{\frac{1}{3}d\left( {S;\left( {ABCD} \right)} \right).{S_{ABCD}}}} = \frac{{d\left( {M;\left( {BCPQ} \right)} \right)}}{{d\left( {S;\left( {ABCD} \right)} \right)}}.\frac{{{S_{BCPQ}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \frac{{MB}}{{SB}}.\frac{{{S_{BCPQ}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{4}\)

\[\frac{{{V_{MNPC}}}}{{{V_{SABCD}}}} = \frac{{{V_{MNPC}}}}{{2{V_{SBCD}}}} = \frac{{\frac{1}{3}d(M;(NPC)).{S_{NPC}}}}{{2.\frac{1}{3}d(B;(SCD)).{S_{SCD}}}} = \frac{1}{2}.\frac{{d(M;(NPC))}}{{d(B;(SCD))}}.\frac{{{S_{NPC}}}}{{{S_{SCD}}}}\]

\(\frac{{{V_{MNPC}}}}{{{V_{SABCD}}}} = \frac{1}{2}.\frac{{MS}}{{BS}}.\frac{{CN}}{{CS}}.\frac{{CP}}{{CD}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{{16}}\)

\(\frac{{{V_{BCMNPQ}}}}{{{V_{SABCD}}}} = \frac{{{V_{MBCPQ}}}}{{{V_{SABCD}}}} + \frac{{{V_{MNPC}}}}{{{V_{SABCD}}}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{{16}} = \frac{5}{{16}}\)

\(\frac{{{V_{SADMNPQ}}}}{{{V_{SABCD}}}} = 1 - \frac{{{V_{BCMNPQ}}}}{{{V_{SABCD}}}} = 1 - \frac{5}{{16}} = \frac{{11}}{{16}}\)

\(\frac{{{V_{BCMNPQ}}}}{{{V_{SADMNPQ}}}} = \frac{{\frac{5}{{16}}}}{{\frac{{11}}{{16}}}} = \frac{5}{{11}}\).