Cho hai hộp đựng bi, đựng 2 loại bi là bi trắng và bi đen, tổng số bi trong hộp là 20 bi và hộp thứ nhất đựng ít bi hơn hộp thứ hai. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 1 bi. Cho biết xác suất để lấy được 2 bi đen là \(\frac{{55}}{{84}}\), tính xác suất để lấy được 2 bi trắng?

    

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Lời giải

Hộp thứ nhất có chứa \(x\) viên bi, trong đó có \(d\) viên bi đen.

Hộp thứ hai có chứa \(x'\) viên bi, trong đó có \(d'\) viên bi đen.

Ta có: \(x + x' = 20,x < x'\). (1)

Xét phép thử: Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 1 viên bi.

Số phần tử không gian mẫu: \(n\left( {\rm{\Omega }} \right) = xx'\).

Gọi A là biến cố lấy được hai bi đen, suy ra \(n\left( A \right) = dd'\).

Theo giả thiết, ta có: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( {\rm{\Omega }} \right)}} = \frac{{dd'}}{{xx'}} = \frac{{55}}{{84}}\).

Theo BĐT côsi: \(xx' \le \frac{1}{4}{\left( {x + x'} \right)^2} = \frac{1}{4}{.20^2} = 100\).

Suy ra: \(xx' = 84,\,\,(2)\).

Từ (1) và (2) suy ra \(x,x'\) là nghiệm của phương trình \({X^2} - 20X + 84 = 0 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 6}\\{x' = 14}\end{array}} \right.\)

Khi đó \(dd' = 55 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{d = 5,\,\,(d < x)}\\{d' = 11}\end{array}} \right.\)            

Do đó hộp thứ nhất chứa 1 bi trắng, hộp thứ hai chứa 3 bi trắng.

Gọi \(B\) là biến cố lấy được hai bi trắng.

Ta có: \(P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( {\rm{\Omega }} \right)}} = \frac{{1.3}}{{84}} = \frac{1}{{28}}\).