Trong hệ trục tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(I\left( {1;1} \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right):3x + 4y - 2 = 0\). Đường tròn tâm \(I\) và tiếp xúc với đường thẳng \(\left( d \right)\) có phương trình

+) Gọi \[AH\] và \[AD\] lần lượt là các đường cao và trung tuyến kẻ từ \[A\] của tam giác \[ABC\].

+) Tọa độ \[A\] là nghiệm của hệ \[\left\{ \begin{array}{l}7x - 2y - 3 = 0\\6x - y - 4 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {1;2} \right)\].

+) \[M\] là trung điểm của \[AB\] nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 2{x_M} - {x_A} = 3\\{y_B} = 2{y_M} - {y_A} =  - 2\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {3; - 2} \right)\).

+) Đường thẳng \[BC\] đi qua \(B\left( {3; - 2} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \[AH\]:\[6x - y - 4 = 0\] nên có phương trình \[1\left( {x--3} \right) + 6\left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 6y + 9 = 0\].

+) \[D\] là giao điểm của \[BC\] và \[AD\] nên tọa độ \[D\] là nghiệm của hệ

\[\left\{ \begin{array}{l}7x - 2y - 3 = 0\\x + 6y + 9 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y =  - \frac{3}{2}\end{array} \right.\,\, \Rightarrow D\left( {0;\,\, - \frac{3}{2}} \right)\]

Mà \(D\) là trung điểm của \(BC\)  suy ra \[C\left( { - 3; - 1} \right)\].

+) Đường thẳng \[AC\] đi qua \[A\left( {1;2} \right)\] và có một vectơ chỉ phương là vectơ \(\overrightarrow {AC}  = \left( { - 4; - 3} \right)\) vậy đường thẳng \(AC\)có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AC} \left( { - 4; - 3} \right)\) suy ra đường thẳng \(AC\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {3; - 4} \right)\) phương trình đường thẳng \(AC\) là \[3\left( {x - 1} \right) - 4\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - 4y + 5 = 0\].