Một nhóm có \(10\) học sinh gồm \(6\) nam trong đó có Quang, và \(4\) nữ trong đó có Huyền được xếp ngẫu nhiên vào \(10\) ghế trên một hàng ngang để dự lễ sơ kết năm học. Xác suất để xếp được giữa \(2\) bạn nữ gần nhau có đúng \(2\) bạn nam, đồng thời Quang không ngồi cạnh Huyền.

Hướng dẫn giải

Số phần tử của không gian mẫu \(n\left( \Omega  \right) = 10!\).

Giả sử các ghế được đánh số từ \(1\)  đến \(10\).

Để có cách xếp sao cho giữa \(2\) bạn nữ gần nhau có đúng \(2\) bạn nam thì các bạn nữ phải ngồi ở các ghế đánh số \(1;4;7;10\). Số cách xếp chỗ ngồi loại này là: \(6!.4!\) cách.

Ta tính số cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho Huyền và Quang ngồi cạnh nhau

Nếu Huyền ngồi ở ghế \(1\) hoặc \(10\)  thì có \(1\) cách xếp chỗ ngồi cho Quang. Nếu Huyền ngồi ở ghế \(4\)  hoặc \(7\) thì có \(2\)  cách xếp chỗ ngồi cho Quang.

Do đó, số cách xếp chỗ ngồi cho Quang và Huyền ngồi liền nhau là \(2 + 2.2 = 6\)

Suy ra, số cách xếp chỗ ngồi cho \(10\) người sao cho Quang và Huyền ngồi liền nhau là\(6.3!.5!\) cách

Gọi \(A\) là biến cố: “ Giữa \(2\) bạn nữ gần nhau có đúng \(2\) bạn nam, đồng thời Quang không ngồi cạnh Huyền”.

Số phần tử của biến cố \(A\) là: \(n\left( A \right) = 4!.6! - 6.5!.3! = 12\,960\).

Xác suất của biến cố \(A\) là: \(P\left( A \right) = \frac{{12960}}{{10!}} = \frac{1}{{280}}\).