Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 10 Cánh Diều có đáp án - Đề 1

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác \[ABC\] có: \[\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \] (định lý tổng ba góc trong một tam giác)

Do đó: \[\widehat A = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat C} \right)\]

+) \(\sin A = \sin \left( {180^\circ - \left( {B + C} \right)} \right) = \sin \left( {B + C} \right)\). Do đó A đúng.

+) \(cosA = cos\left( {180^\circ - \left( {B + C} \right)} \right) = - cos\left( {B + C} \right)\). Do đó B sai.

Ta lại có: \(0^\circ < \widehat A,\widehat B,\,\widehat C < 180^\circ \) nên:

+) \[{\rm{cosA}}\,{\rm{ > }}\,{\rm{0}}\] khi \(0^\circ < \widehat A < 90^\circ \);

\[{\rm{cosA}}\, = \,{\rm{0}}\] khi \(\widehat A = 90^\circ \);

\[{\rm{cosA}}\, < \,{\rm{0}}\] khi \(90^\circ < \widehat A < 180^\circ \). Do đó C sai.

+) \(\sin A > 0\). Do đó D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Với mọi góc \(\alpha \) thoả mãn \(0^\circ \le \alpha \le 180^\circ \) ta luôn có

\(\sin \left( {180^\circ - \alpha } \right) = \sin \alpha \);                                       

\({\rm{cos}}\left( {180^\circ - \alpha } \right) = - {\rm{cos}}\alpha \);

\(\tan \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \tan \alpha \left( {\alpha \ne 90^\circ } \right)\);                     

\(\cot \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \cot \alpha \left( {0^\circ < \alpha < 180^\circ } \right)\).

Vậy đáp án B sai, đáp án A, C, D đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét đáp án A: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A\) là khẳng định đúng (theo định lí cosin).

Xét đáp án B: \(\frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} \Rightarrow b = \frac{{c.\sin B}}{{{\mathop{\rm sinC}\nolimits} }}\) là khẳng định đúng (theo địn lí sin).

Xét đáp án C: \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \) là khẳng định đúng (theo công thức Heron).

Xét đáp án D: \(S = \frac{1}{2}ab.\sin C\) khẳng định D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Diện tích tam giác \[ABC\] đều là:

\[S = AB.AC.sinA = \frac{1}{2}.2a.2a.sin60^\circ = {a^2}\sqrt 3 \]

Nửa chu vi tam giác \[ABC\] là:

\[p = \frac{{2a + 2a + 2a}}{2} = 3a\]

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \[ABC\] là:

\[r = \frac{S}{p} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{3a}} = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có:

\[\sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt 2 \Rightarrow {(sin\alpha + cos\alpha )^2} = 2 \Rightarrow 1 + 2sin\alpha .cos\alpha = 2 \Rightarrow sin\alpha .cos\alpha = \frac{1}{2}\]

\[tan\alpha + cot\alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{1}{{\sin \alpha .\cos \alpha }} \Rightarrow tan\alpha + cot\alpha = \frac{1}{{\frac{1}{2}}} = 2\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có \(\widehat {CAD} = 63^\circ \Rightarrow \widehat {BAD} = 117^\circ \Rightarrow \widehat {ADB} = 180^\circ - \left( {117^\circ + 48^\circ } \right) = 15^\circ \)

Áp dụng định lý sin trong tam giác \(ABD\) ta có:

\(\frac{{AB}}{{\sin \widehat {ADB}}} = \frac{{BD}}{{\sin \widehat {BAD}}} \Rightarrow BD = \frac{{AB.\sin \widehat {BAD}}}{{\sin \widehat {ADB}}}\)

Tam giác \(BCD\) vuông tại \(C\) nên có: \(\sin \widehat {CBD} = \frac{{CD}}{{BD}} \Rightarrow CD = BD.\sin \widehat {CBD}\)

Vậy \[CD = \frac{{AB.\sin \widehat {BAD}.\sin \widehat {CBD}}}{{\sin \widehat {ADB}}} = \frac{{24.\sin 117^\circ .sin48^\circ }}{{\sin 15^\circ }} = 61,4m\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABC\), ta có:

\(B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} - 2AC \cdot AB \cdot \cos A = {6^2} + {3^2} - 2 \cdot 6 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ = 27 \Rightarrow BC = 3\sqrt 3 \).

Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\), ta có: \(\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R\)

\( \Rightarrow R = \frac{{BC}}{{2\sin A}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{{2\sin 60^\circ }} = 3\).