10 Bài tập Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Đường tròn có tâm O(0; 0) bán kính R = 1.

Điều kiện để đường thẳng tiếp xúc với đường tròn là khoảng cách từ tâm tới đường thẳng bằng bán kính.

Xét phương án A: đường thẳng ∆: 3x – 4y + 5 = 0.

$d\left(O,\Delta \right)=\frac{\left|3\cdot 0-4\cdot 0+5\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{5}{5}=1=R.$

Do đó đường thẳng 3x – 4y + 5 = 0 tiếp xúc với đường tròn.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Đường tròn (C) tiếp xúc với trục Ox khi d(I, Ox) = R với I và R lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn (C).

Xét phương trình đường tròn: x² + y² + 6x + 5y + 9 = 0 có $I\left(-3;-\frac{5}{2}\right)$ và $R=\frac{5}{2}$.

d(I, Ox) = $\frac{5}{2}=R$. Vậy (C) tiếp xúc với trục Ox.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Đường tròn (C): x² + y² – 2x – 4y + 3 = 0 có tâm I(1; 2) và bán kính $R=\sqrt{2}$.

Do d song song với đường thẳng Δ nên d có phương trình là 3x + 4y + k = 0 (k ≠ 1).

Để đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (C) thì d(I, d) = R

$\iff \frac{\left|3\cdot 1+4\cdot 2+k\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\sqrt{2}\iff \left|11+k\right|=5\sqrt{2}\iff \left[\begin{array}{l}11+k=5\sqrt{2}\\ 11+k=-5\sqrt{2}\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}k=5\sqrt{2}-11\\ k=-5\sqrt{2}-11\end{array}\right.$

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là $3x+4y+5\sqrt{2}-11=0$ và $3x+4y-5\sqrt{2}-11=0$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Đường tròn (C): (x – 2)² + (y + 4)² = 25 có tâm I(2; –4), bán kính R = 5.

Đường thẳng vuông góc với đường thẳng d: 3x – 4y + 5 = 0 có phương trình dạng: 4x + 3y + c = 0.

Đường thẳng Δ là tiếp tuyến của đường tròn (C) khi và chỉ khi d(I, Δ) = R tức là

$\frac{\left|4.2+3.\left(-4\right)+c\right|}{\sqrt{4^2+3^2}}=5\iff \left|c-4\right|=25\iff \left[\begin{array}{l}c-4=25\\ c-4=-25\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}c=29\\ c=-21\end{array}\right.$.

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: 4x + 3y + 29 = 0 và 4x + 3y – 21 = 0.

Hướng dẫn giải :

Đáp án đúng là : D

Đường tròn (C): (x – 3)² + (y – 4)² = 36 tâm I(3; 4) và bán kính R = 6.

Với P(–3; –2) và I(3; 4) ta có $\overrightarrow{PI}=\left(6;6\right)$ nên ta có $PI=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}.$

Xét ∆PIM vuông tại M, theo định lí Pythagore ta có :

$PM=\sqrt{P{I}^2-M{I}^2}=\sqrt{{\left(6\sqrt{2}\right)}^2-6^2}=6.$

Do đó ∆PIM vuông cân tại M, suy ra tứ giác IMPN là hình vuông nên đường thẳng MN nhận $\overrightarrow{n}=\frac{1}{6}\overrightarrow{PI}=\left(1;1\right)$ làm vectơ pháp tuyến đồng thời đường thẳng MN đi qua trung điểm K(0; 1) của IP.

Vậy phương trình đường thẳng MN là : 1(x – 0) + 1. ( y – 1) = 0 hay x + y – 1 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Đường tròn (C) có tâm I(2; – 4) và bán kính $R=\sqrt{2}$

Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường tròn ta thấy điểm A thuộc đường tròn (C). Do đó tiếp tuyến của đường tròn (C) đi qua A chính là tiếp tuyến tại A của đường tròn (C).

Với A(1; –3) và I(2; – 4) ta có $\overrightarrow{AI}=\left(1;-1\right).$ Khi đó tiếp tuyến tại A nhận $\overrightarrow{AI}=\left(1;-1\right).$ làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A(1; –3) là:

1(x – 1) – 1(y + 3) = 0 hay x – y – 4 = 0.