12 Bài tập Xác định giá trị của m để hàm số bậc hai đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất tại một số cho trước (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Xét hàm số y = x² – 3x + m có:

\(\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - ( - 3)}}{{2.1}} = \frac{3}{2}\)

\(\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \frac{{ - ({{( - 3)}^2} - 4.1.m)}}{{4.1}} = \frac{{ - 9 + 4m}}{4} = \frac{{ - 9}}{4} + m\)

 Ta có, a = 1 > 0 nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là \(\frac{{ - 9}}{4} + m\) tại \(x = \frac{3}{2}\)

Để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 12 khi và chỉ khi \(\frac{{ - 9}}{4} + m = 12 \Leftrightarrow m = \frac{{57}}{4}\)

Vậy \(m = \frac{{57}}{4}\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Xét hàm số y = –x² + 6x – m có:

\(\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 6}}{{2.( - 1)}} = 3\)

\(\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \frac{{ - ({6^2} - 4.( - 1).\left( { - m} \right))}}{{4.( - 1)}} = \frac{{ - 36 + 4m}}{{ - 4}} = 9 - m\)

 Ta có, a = –1 < 0 nên hàm số đạt giá trị lớn nhất là 9 – m tại \(x = \frac{3}{2}\)

Để hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 6 khi và chỉ khi 9 – m = 6 hay m = 3.

Vậy m = –3 thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Xét hàm số y = –2x² + 4x – 3m có:

\(\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 4}}{{2.( - 2)}} = 1\)

\(\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \frac{{ - ({4^2} - 4.( - 2).( - 3m))}}{{4.( - 2)}} = \frac{{ - 16 + 24m}}{{ - 8}} = 2 - 3m\)

 Ta có, a = –2 < 0 nên hàm số đạt giá trị lớn nhất là 2 – 3m tại x = 1

Để hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 10 khi và chỉ khi 2 – 3m = 10 hay m = –\(\frac{8}{3}\)

Vậy m = –\(\frac{8}{3}\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Xét hàm số y = 4x² – x + 2m có:

\(\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - ( - 1)}}{{2.4}} = \frac{1}{8}\)

\(\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \frac{{ - ({{( - 1)}^2} - 4.4.2m)}}{{4.4}} = \frac{{ - 1 + 32m}}{{16}} = \frac{{ - 1}}{{16}} + 2m\)

 Ta có, a = 4 > 0 nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là \(\frac{{ - 1}}{{16}} + 2m\) tại \(x = \frac{1}{8}\).

Để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi và chỉ khi \(\frac{{ - 1}}{{16}} + 2m = 1 \Leftrightarrow m = \frac{{17}}{{32}}\)

Vậy \(m = \frac{{17}}{{32}}\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Mà \(\frac{{17}}{{32}}\) là một số hữu tỉ dương nên đáp án A đúng.