10 Bài tập Chứng minh hai vectơ bằng nhau, hai vectơ đối nhau (có lời giải)

Đáp án đúng là: A.

Xét tam giác ABC có: N là trung điểm của AC, do đó: NA = CN \( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {NA} } \right| = \left| {\overrightarrow {CN} } \right|\)

Ta có: \(\overrightarrow {NA} \) và \(\overrightarrow {CN} \) có cùng giá là đường thẳng AC.

Nên hai vectơ \(\overrightarrow {NA} \) và \(\overrightarrow {CN} \) cùng phương.

Mà \(\overrightarrow {NA} \) và \(\overrightarrow {CN} \) cùng hướng từ phải sang trái.

Vậy \(\overrightarrow {NA} \) = \(\overrightarrow {CN} \).

Xét tam giác ABC có: M là trung điểm của AB, do đó: AM = BM \( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {BM} } \right| = \left| {\overrightarrow {AM} } \right|\)

Ta có: hai vectơ \(\overrightarrow {BM} \) và \(\overrightarrow {AM} \) có cùng giá là đường thẳng AB.

Mà \(\overrightarrow {BM} \)có hướng từ phải sang trái và \(\overrightarrow {AM} \) có hướng từ trái sang phải

Do đó, chúng ngược hướng.

Vậy hai vectơ \(\overrightarrow {BM} \) và \(\overrightarrow {AM} \) đối nhau.

Đáp án đúng là: B.

Xét tam giác ABC có:

N là trung điểm của AC có: NC = \(\frac{1}{2}\)AC (1)

M là trung điểm của AB, P là trung điểm của BC nên MP là đường trung bình của tam giác ABC, do đó: MP = \(\frac{1}{2}\)AC (2), MP // AC (3)

Từ (1) và (2) ta suy ra: NC = MP hay \(\left| {\overrightarrow {NC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MP} } \right|\).

Từ (3) ta có: hai vectơ \(\overrightarrow {NC} \) và \(\overrightarrow {MP} \) cùng phương, mà chúng cùng hướng đi từ trái sang phải.

Vậy \(\overrightarrow {NC} \) = \(\overrightarrow {MP} \).

Đáp án đúng là: D.

Xét tam giác ABC có:

M là trung điểm của AB có: MB = \(\frac{1}{2}\)AB (1)

P là trung điểm của BC, N là trung điểm của AC nên PN là đường trung bình của tam giác ABC, do đó: PN = \(\frac{1}{2}\)AB (2), PN // AB (3)

Từ (1) và (2) ta suy ra: MB = PN hay \(\left| {\overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {PN} } \right|\)

Từ (3) ta có: hai vectơ \(\overrightarrow {PN} \) và \(\overrightarrow {MB} \) cùng phương, mà chúng ngược hướng nhau.

Vậy hai vectơ \(\overrightarrow {PN} \) và \(\overrightarrow {MB} \) đối nhau.

Đáp án đúng là: A.

Xét hình vuông ABCD tâm O có:

OA = CO = \(\frac{1}{2}\)AC

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \left| {\overrightarrow {CO} } \right|\) (1)

Mặt khác, \(\overrightarrow {OA} \) và \(\overrightarrow {CO} \) có cùng giá là đường thẳng AC

Do đó, \(\overrightarrow {OA} \) và \(\overrightarrow {CO} \) cùng phương, mà chúng cùng hướng (2)

Từ (1) và (2) ta kết luận: \(\overrightarrow {CO} \) = \(\overrightarrow {OA} \).

Đáp án đúng là: D.

Xét hình vuông ABCD tâm O có:

OB = OD = \(\frac{1}{2}\)BD

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {OD} } \right|\) (1)

Mặt khác, hai vectơ \(\overrightarrow {OB} \) và \(\overrightarrow {OD} \) có cùng giá là đường thẳng BD

Do đó, hai vectơ \(\overrightarrow {OB} \) và \(\overrightarrow {OD} \) cùng phương, mà chúng ngược hướng (2)

Từ (1) và (2) ta kết luận: \(\overrightarrow {OB} \) = –\(\overrightarrow {OD} \).