Gieo một đồng xu cân đối và đồng chất liên tiếp ba lần. Tìm xác suất để trong ba lần gieo có ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp.

Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = {2^8}\).

Gọi \(A\) là biến cố “Học sinh được 1 điểm ở phần trả lời 2 câu hỏi”.

TH1: Mỗi câu 3 ý đúng có \(C_4^3 \cdot C_4^3\).

TH2: 1 câu 4 ý đúng, 1 câu 0 ý đúng là \(C_4^4 \cdot 1 + 1 \cdot C_4^4\).

Suy ra \(n\left( A \right) = C_4^3 \cdot C_4^3 + C_4^4 \cdot 1 + 1 \cdot C_4^4 = 18\).

Khi đó \(P\left( A \right) = \frac{{18}}{{{2^8}}} = \frac{9}{{128}}\).

Số phần tử của không gian mẫu là \({17^3}\).

Các số tự nhiên từ 1 đến 17 chia thành 3 nhóm:

Nhóm I gồm các số tự nhiên chia hết cho 3 gồm 5 số.

Nhóm II gồm các số tự nhiên chia cho 3 dư 1 gồm 6 số.

Nhóm III gồm các số tự nhiên chia cho 3 dư 2 gồm 6 số.

Để ba số có tổng chia hết cho 3 thì xảy ra các trường hợp sau:

Cả ba bạn viết được số thuộc nhóm I có \({5^3}\) cách.

Cả ba bạn viết được số thuộc nhóm II có \({6^3}\) cách.

Cả ba bạn viết được một số thuộc nhóm III có \({6^3}\) cách.

Mỗi bạn viết được một số thuộc một nhóm có \(3! \cdot \left( {5 \cdot 6 \cdot 6} \right)\).

Vậy có tất cả \({5^3} + {6^3} + {6^3} + 3! \cdot \left( {5 \cdot 6 \cdot 6} \right) = 1637\) kết quả thuận lợi cho biến cố.

Vậy xác suất cần tìm là \(P = \frac{{1637}}{{{{17}^3}}} = \frac{{1637}}{{4913}}\).