Một lớp có 15 học sinh nam và 20 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh tham gia lao động. Tính xác suất sao cho:

a) Chọn 5 học sinh có đúng 3 học sinh nam và 2 nữ.

b) Chọn 5 học sinh sao cho có ít nhất 1 nam.

Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = {2^8}\).

Gọi \(A\) là biến cố “Học sinh được 1 điểm ở phần trả lời 2 câu hỏi”.

TH1: Mỗi câu 3 ý đúng có \(C_4^3 \cdot C_4^3\).

TH2: 1 câu 4 ý đúng, 1 câu 0 ý đúng là \(C_4^4 \cdot 1 + 1 \cdot C_4^4\).

Suy ra \(n\left( A \right) = C_4^3 \cdot C_4^3 + C_4^4 \cdot 1 + 1 \cdot C_4^4 = 18\).

Khi đó \(P\left( A \right) = \frac{{18}}{{{2^8}}} = \frac{9}{{128}}\).

Số phần tử của không gian mẫu là \({17^3}\).

Các số tự nhiên từ 1 đến 17 chia thành 3 nhóm:

Nhóm I gồm các số tự nhiên chia hết cho 3 gồm 5 số.

Nhóm II gồm các số tự nhiên chia cho 3 dư 1 gồm 6 số.

Nhóm III gồm các số tự nhiên chia cho 3 dư 2 gồm 6 số.

Để ba số có tổng chia hết cho 3 thì xảy ra các trường hợp sau:

Cả ba bạn viết được số thuộc nhóm I có \({5^3}\) cách.

Cả ba bạn viết được số thuộc nhóm II có \({6^3}\) cách.

Cả ba bạn viết được một số thuộc nhóm III có \({6^3}\) cách.

Mỗi bạn viết được một số thuộc một nhóm có \(3! \cdot \left( {5 \cdot 6 \cdot 6} \right)\).

Vậy có tất cả \({5^3} + {6^3} + {6^3} + 3! \cdot \left( {5 \cdot 6 \cdot 6} \right) = 1637\) kết quả thuận lợi cho biến cố.

Vậy xác suất cần tìm là \(P = \frac{{1637}}{{{{17}^3}}} = \frac{{1637}}{{4913}}\).