Khảo sát chiều cao của \[20\] học sinh nam lớp \[12{\rm{A}}\]của một trường THPT X, người ta được kết quả thống kê trong bảng sau.

Số cách chọn ngẫu nhiên \(6\) học sinh từ \(35\) học sinh. \(n\left( \Omega  \right) = C_{35}^6 = 1623160\).

Gọi \(A\) là biến cố. “\(6\) học sinh được chọn không có hai em nào đứng cạnh nhau trong vòng tròn”.

Giả sử xếp \(35\) học sinh thành một hàng ngang, chọn \(6\) em sao cho không có hai em nào đứng cạnh nhau cũng như chọn ra \(6\) trong các “khoảng trống” tạo ra bởi \(29\) em còn lại.

Mà \(29\) học sinh tạo ra \(30\) “khoảng trống” nên có \(C_{30}^6 = 593775\) cách chọn.

Mặt khác, nếu có hai em trong \(6\) em được chọn đứng đầu hàng và cuối hàng thì khi xếp thành vòng tròn hai em này sẽ đứng cạnh nhau.

Khi đó, ta chọn ra \(4\) trong các “khoảng trống” giữa \(29\) em còn lại có \(C_{28}^4 = 20475\) cách chọn.

Vậy số phần tử thuận lợi cho biến cố \(A\). \(n\left( A \right) = 593775 - 20475 = 573300\).

Xác suất cần tìm. \(a = P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{573300}}{{1623160}} = \frac{{4095}}{{11594}} \Rightarrow 11594a = 4095\).

a) Đúng

Vì máy bay giữ nguyên hướng và tốc độ nên sau 10 giây máy bay đến vị trí \(C\), ta có

\(\overrightarrow {AB}  = 2\overrightarrow {BC} \).

Gọi \(C\left( {a;b;c} \right) \Rightarrow \overrightarrow {BC}  = \left( {a + 8;b - 6;c - 10} \right);\overrightarrow {AB}  = \left( { - 8;6;0} \right)\)

\(\overrightarrow {AB}  = 2\overrightarrow {BC}  \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 8 = 2(a + 8)}\\{6 = 2(b - 6)}\\{0 = 2(c - 10)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a =  - 12}\\{b = 9}\\{c = 10}\end{array} \Rightarrow C( - 12;9;10)} \right.\)

Tương tự \(F\left( {\frac{9}{{40}};\frac{3}{{10}};0} \right)\).

b) Sai

\(BE = \sqrt {{{\left( {\frac{3}{{20}} + 8} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{5} + 6} \right)}^2} + {{\left( { - 10} \right)}^2}}  \approx 14\left( {km} \right)\)

c) Đúng

Quãng đường xe tăng đi được trong 20 giây đầu tiên là \(OE = 0,25km = 250m \Rightarrow {v_{tb}} = 12,5m/s\)

d) Đúng

Giả sử sau thời gian t máy bay đang ở vị trí \(D\) và xe tăng đang ở vị trí \(K\).

Véc tơ vận tốc của máy bay là \(\overrightarrow {{v_1}}  = 1800.\frac{{\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow v } \right|}} = \left( { - 1440;1080;0} \right)\)

\(\overrightarrow {A{\rm{D}}}  = t.\overrightarrow {{v_1}}  \Rightarrow D\left( { - 1440t;1080t;10} \right)\)

\(\overrightarrow {{u_1}}  = 60.\frac{{\overrightarrow u }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \left( {36;48;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OK}  = t.\overrightarrow {{u_1}}  \Rightarrow K\left( {36t;48t;0} \right)\)

\(DK = \sqrt {{{1476}^2}{t^2} + {{1032}^2}{t^2} + 100}  = f(t)\)

Thời gian máy bay là \(27:1800 = 0,015h\)

Tốc độ thay đổi khoảng cách giữa máy bay và xe tăng lúc này là \(f'(0,015) = 1689km/h\).