Từ một tấm bìa mỏng hình lục giác đều \(ABCDEF\)cạnh 4 cm, bên trong có một lục giác đều nhỏ hơn. Các đường chéo AD, BE, CF cắt nhau tại O, cắt cạnh lục giác đều nhỏ tại M (như hình vẽ). Đặt \(OM = x\) (cm). Bạn Khôi cắt bỏ 6 tam giác cân bằng nhau có cạnh đáy là cạnh của lục giác đều ban đầu và đỉnh là đỉnh của lục giác đều nhỏ phía trong rồi gấp lên sao cho các đỉnh A, B, C, D, E, F trùng nhau tạo thành một khối chóp lục giác đều.

Có \[n \in N\].

Gọi \[a,b,c\] lần lượt là số ghế của Khoa, Thảo, Khôi. Do \[a,b,c\] là cấp số cộng nên \[a + c = 2b\].

Chứng tỏ \[a,c\] cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

Gọi \[A\] là tập hợp các ghế số chẵn, \[B\] là tập hợp các ghế số lẻ.

Với hai phần tử  \[a,c\] thuộc \[A\] hoặc \[B\] thì hiển nhiên tồn tại cấp số cộng \[a,b,c\].

Trường hợp \[n\] chẵn.

Khi đó, \[A\] có  \[\frac{n}{2}\]  phần tử và \[B\] có  \[\frac{n}{2}\] phần tử.

Có \[C_{\frac{n}{2}}^2 = \frac{{\left( {\frac{n}{2}} \right)!}}{{2!.\left( {\frac{n}{2} - 2} \right)!}} = \frac{1}{2}.\left( {\frac{n}{2} - 1} \right)\left( {\frac{n}{2}} \right) = \frac{1}{8}.\left( {n - 2} \right).n\], nên số cấp số cộng là \[2.C_{\frac{n}{2}}^2 = \frac{1}{4}.\left( {n - 2} \right).n\]

và số kết quả thuận lợi là \[\frac{1}{4}.\left( {n - 2} \right).n.2.\left( {n - 3} \right)! = \frac{1}{2}.\left( {n - 2} \right).n.\left( {n - 3} \right)!\] (do mỗi bộ \[\left( {a;b;c} \right)\] có \[2\] cấp số cộng và ba bạn Khoa, Thảo, Khôi chỉ ngồi vào ba ghế có số ghế tạo thành cấp số cộng chứ không thay đổi vị trí).

Theo đề, có phương trình. \[\frac{{\frac{1}{2}.\left( {n - 2} \right).n.\left( {n - 3} \right)!}}{{n!}} = \frac{{13}}{{675}} \Leftrightarrow \frac{1}{{2\left( {n - 1} \right)}} = \frac{{13}}{{675}} \Leftrightarrow n = \frac{{701}}{{26}}\] (loại).

Trường hợp \[n\] lẻ.

Khi đó, \[A\] có  \[\frac{{n - 1}}{2}\]  phần tử và \[B\] có  \[\frac{{n + 1}}{2}\] phần tử.

Có \[C_{\frac{{n - 1}}{2}}^2 = \frac{{\left( {\frac{{n - 1}}{2}} \right)!}}{{2!.\left( {\frac{{n - 1}}{2} - 2} \right)!}} = \frac{1}{2}.\left( {\frac{{n - 1}}{2} - 1} \right).\left( {\frac{{n - 1}}{2}} \right) = \frac{1}{8}.\left( {n - 3} \right).\left( {n - 1} \right)\]

và \[C_{\frac{{n + 1}}{2}}^2 = \frac{{\left( {\frac{{n + 1}}{2}} \right)!}}{{2!.\left( {\frac{{n + 1}}{2} - 2} \right)!}} = \frac{1}{2}.\left( {\frac{{n + 1}}{2} - 1} \right)\left( {\frac{{n + 1}}{2}} \right) = \frac{1}{8}.\left( {n - 1} \right).\left( {n + 1} \right)\],

nên số cấp số cộng là \[C_{\frac{{n - 1}}{2}}^2 + C_{\frac{{n + 1}}{2}}^2 = \frac{1}{8}\left( {n - 1} \right)\left( {2n - 2} \right) = \frac{1}{4}{\left( {n - 1} \right)^2}\]

và số kết quả có thể là \[\frac{1}{4}{\left( {n - 1} \right)^2}.2.\left( {n - 3} \right)! = \frac{1}{2}{\left( {n - 1} \right)^2}.\left( {n - 3} \right)!\](do mỗi bộ \[\left( {a;b;c} \right)\] có \[2\] cấp số cộng và ba bạn Khoa, Thảo, Khôi chỉ ngồi vào ba ghế có số ghế tạo thành cấp số cộng chứ không thay đổi vị trí).

Theo đề, có phương trình.

\[\frac{{\frac{1}{2}.{{\left( {n - 1} \right)}^2}.\left( {n - 3} \right)!}}{{n!}} = \frac{{13}}{{675}} \Leftrightarrow \frac{{n - 1}}{{2n\left( {n - 2} \right)}} = \frac{{13}}{{675}} \Leftrightarrow 26{n^2} - 727n + 675 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 27\;\left( n \right)\\n = \frac{{25}}{{26}}\;\left( l \right)\end{array} \right.\]

\[\begin{array}{l}g\left( 3 \right) = \mathop {\max }\limits_{\left[ {3;5} \right]} f\left( x \right) - \mathop {\min }\limits_{\left[ {3;5} \right]} f\left( x \right) = a\left[ {\mathop {\max }\limits_{\left[ {3;5} \right]} {{\left( {x - b} \right)}^2} - \mathop {\min }\limits_{\left[ {3;5} \right]} {{\left( {x - b} \right)}^2}} \right] = a\\ \Leftrightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {3;5} \right]} {\left( {x - b} \right)^2} - \mathop {\min }\limits_{\left[ {3;5} \right]} {\left( {x - b} \right)^2} = 1\end{array}\]

+) Nếu \[b \le 3\] thì

\[\mathop {\max }\limits_{\left[ {3;5} \right]} {\left( {x - b} \right)^2} - \mathop {\min }\limits_{\left[ {3;5} \right]} {\left( {x - b} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow {\left( {5 - b} \right)^2} - {\left( {3 - b} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow  - 4b + 16 = 1 \Leftrightarrow b = \frac{{15}}{4}\] (loại)

+) Nếu \[b \ge 5\] thì

\[\mathop {\max }\limits_{\left[ {3;5} \right]} {\left( {x - b} \right)^2} - \mathop {\min }\limits_{\left[ {3;5} \right]} {\left( {x - b} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow {\left( {3 - b} \right)^2} - {\left( {5 - b} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow 4b - 16 = 1 \Leftrightarrow b = \frac{{17}}{4}\] (loại)

+) Nếu \[3 < b < 5\]thì

                        \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {3;5} \right]} {\left( {x - b} \right)^2} - \mathop {\min }\limits_{\left[ {3;5} \right]} {\left( {x - b} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow Max\left\{ {{{\left( {3 - b} \right)}^2};{{\left( {5 - b} \right)}^2}} \right\} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {3 - b} \right)^2} = 1\\{\left( {5 - b} \right)^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 2(l)\\b = 4(tm)\\b = 6(l)\end{array} \right.\]

            Vậy \[b = 4\].

Lại có.

            \[g\left( 2 \right) = \mathop {\max }\limits_{\left[ {2;4} \right]} f\left( x \right) - \mathop {\min }\limits_{\left[ {2;4} \right]} f\left( x \right) = a\left[ {\mathop {\max }\limits_{\left[ {2;4} \right]} {{\left( {x - 4} \right)}^2} - \mathop {\min }\limits_{\left[ {2;4} \right]} {{\left( {x - 4} \right)}^2}} \right] = a{\left( {2 - 4} \right)^2} = 4a\]

            \[g\left( 6 \right) = \mathop {\max }\limits_{\left[ {6;8} \right]} f\left( x \right) - \mathop {\min }\limits_{\left[ {6;8} \right]} f\left( x \right) = a\left[ {\mathop {\max }\limits_{\left[ {6;8} \right]} {{\left( {x - 4} \right)}^2} - \mathop {\min }\limits_{\left[ {6;8} \right]} {{\left( {x - 4} \right)}^2}} \right] = a\left[ {{{\left( {8 - 4} \right)}^2} - {{\left( {6 - 4} \right)}^2}} \right] = 12a\]

            \[g\left( 2 \right) + g\left( 6 \right) = 32 \Leftrightarrow 4a + 12a = 32 \Leftrightarrow a = 2\]

Do đó \[f\left( x \right) = 2{\left( {x - 4} \right)^2}\] suy ra \[A\left( {7;18} \right)\]. Vậy khoảng cách giữa chú kiến và tổ của mình là.

\[OA = \sqrt {{7^2} + {{18}^2}}  \approx 19,3\]