Dịp cuối tuần một nhóm n bạn gồm Khoa, Khôi, Thảo và (n -3) bạn khác cùng nhau đến rạp chiếu phim xem bộ phim “Mưa đỏ”. Khi xếp tùy ý nhóm bạn này vào dãy ghế được đánh số từ 1 đến n, mỗi bạn ngồi một ghế thì xác suất để số ghế của Khoa, Thảo, Khôi theo thứ tự lập thành cấp số cộng là  \[\frac{{13}}{{675}}\]. Tìm n.

a) Đúng

b) Sai

Vì OM là độ dài đường cao của tam giác cạnh bằng cạnh đáy của khối chóp lục giác đều nên cạnh đáy của khối chóp lục giác đều bằng \(\frac{2}{{\sqrt 3 }}x = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}x\).

c) Đúng

Ta có. \(AM = 4 - x\)nên chiều cao khối chóp lục giác đều là \(\sqrt {{{\left( {4 - x} \right)}^2} - {x^2}}  = \sqrt {16 - 8x} \).

d) Sai

Thể tích khối chóp lục giác đều là

\(V\) lớn nhất \( \Leftrightarrow 64{x^3} - 40{x^4} = 0 \Rightarrow x = \frac{8}{5}.\)

Khi đó. Thể tích lớn nhất của khối chóp lục giác đều bằng .

\[\begin{array}{l}g\left( 3 \right) = \mathop {\max }\limits_{\left[ {3;5} \right]} f\left( x \right) - \mathop {\min }\limits_{\left[ {3;5} \right]} f\left( x \right) = a\left[ {\mathop {\max }\limits_{\left[ {3;5} \right]} {{\left( {x - b} \right)}^2} - \mathop {\min }\limits_{\left[ {3;5} \right]} {{\left( {x - b} \right)}^2}} \right] = a\\ \Leftrightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {3;5} \right]} {\left( {x - b} \right)^2} - \mathop {\min }\limits_{\left[ {3;5} \right]} {\left( {x - b} \right)^2} = 1\end{array}\]

+) Nếu \[b \le 3\] thì

\[\mathop {\max }\limits_{\left[ {3;5} \right]} {\left( {x - b} \right)^2} - \mathop {\min }\limits_{\left[ {3;5} \right]} {\left( {x - b} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow {\left( {5 - b} \right)^2} - {\left( {3 - b} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow  - 4b + 16 = 1 \Leftrightarrow b = \frac{{15}}{4}\] (loại)

+) Nếu \[b \ge 5\] thì

\[\mathop {\max }\limits_{\left[ {3;5} \right]} {\left( {x - b} \right)^2} - \mathop {\min }\limits_{\left[ {3;5} \right]} {\left( {x - b} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow {\left( {3 - b} \right)^2} - {\left( {5 - b} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow 4b - 16 = 1 \Leftrightarrow b = \frac{{17}}{4}\] (loại)

+) Nếu \[3 < b < 5\]thì

                        \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {3;5} \right]} {\left( {x - b} \right)^2} - \mathop {\min }\limits_{\left[ {3;5} \right]} {\left( {x - b} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow Max\left\{ {{{\left( {3 - b} \right)}^2};{{\left( {5 - b} \right)}^2}} \right\} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {3 - b} \right)^2} = 1\\{\left( {5 - b} \right)^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 2(l)\\b = 4(tm)\\b = 6(l)\end{array} \right.\]

            Vậy \[b = 4\].

Lại có.

            \[g\left( 2 \right) = \mathop {\max }\limits_{\left[ {2;4} \right]} f\left( x \right) - \mathop {\min }\limits_{\left[ {2;4} \right]} f\left( x \right) = a\left[ {\mathop {\max }\limits_{\left[ {2;4} \right]} {{\left( {x - 4} \right)}^2} - \mathop {\min }\limits_{\left[ {2;4} \right]} {{\left( {x - 4} \right)}^2}} \right] = a{\left( {2 - 4} \right)^2} = 4a\]

            \[g\left( 6 \right) = \mathop {\max }\limits_{\left[ {6;8} \right]} f\left( x \right) - \mathop {\min }\limits_{\left[ {6;8} \right]} f\left( x \right) = a\left[ {\mathop {\max }\limits_{\left[ {6;8} \right]} {{\left( {x - 4} \right)}^2} - \mathop {\min }\limits_{\left[ {6;8} \right]} {{\left( {x - 4} \right)}^2}} \right] = a\left[ {{{\left( {8 - 4} \right)}^2} - {{\left( {6 - 4} \right)}^2}} \right] = 12a\]

            \[g\left( 2 \right) + g\left( 6 \right) = 32 \Leftrightarrow 4a + 12a = 32 \Leftrightarrow a = 2\]

Do đó \[f\left( x \right) = 2{\left( {x - 4} \right)^2}\] suy ra \[A\left( {7;18} \right)\]. Vậy khoảng cách giữa chú kiến và tổ của mình là.

\[OA = \sqrt {{7^2} + {{18}^2}}  \approx 19,3\]