[VD] Hãng Xtul Air – Công ty chuyên về các chuyến bay thuê chuyến vừa có hoạt động thâm nhập thị trường Việt Nam. Hãng đã cho ra mắt dịch vụ sử dụng máy bay riêng của Xtul Air, trong đó có chiếc Gulfstream G650 là máy bay phản lực thương mại lớn, sức chứa tối đa 20 người, có thể bay từ Hà Nội về TP. Hồ Chí Minh trong 1 tiếng, có giá 8000 USD/giờ. Hãng cho biết với mỗi lần bay, hãng sẽ tốn 4000 USD bao gồm tiền nhiên liệu và bảo hành máy móc. Ngoài ra tốn thêm 1000 USD cho mỗi khách hàng do trọng lượng tăng thêm và các dịch vụ trên máy bay. Để khuyến khích khách hàng trải nghiệm, hãng Xtul Ari áp dụng chính sách giảm giá vé cho các chuyến bay, cứ mỗi chuyến bay mọi người sẽ được giảm giá vé theo tỷ lệ phần trăm dựa trên số lượng khách hàng. Cụ thể, nếu chuyến bay có 5 người thì mỗi hành khách được giảm 15% giá vé, chuyến bay có 6 người thì mỗi khách được giảm 18% giá vé, và cứ thế ứng với n người thì vé được giảm 3n% giá vé, tối đa 20 hành khách ( từ 5 người thì có thể bay). Hỏi lợi nhuận của hãng cao nhất khi số khách hàng trên máy bay là bao nhiêu?

Có \[n \in N\].

Gọi \[a,b,c\] lần lượt là số ghế của Khoa, Thảo, Khôi. Do \[a,b,c\] là cấp số cộng nên \[a + c = 2b\].

Chứng tỏ \[a,c\] cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

Gọi \[A\] là tập hợp các ghế số chẵn, \[B\] là tập hợp các ghế số lẻ.

Với hai phần tử  \[a,c\] thuộc \[A\] hoặc \[B\] thì hiển nhiên tồn tại cấp số cộng \[a,b,c\].

Trường hợp \[n\] chẵn.

Khi đó, \[A\] có  \[\frac{n}{2}\]  phần tử và \[B\] có  \[\frac{n}{2}\] phần tử.

Có \[C_{\frac{n}{2}}^2 = \frac{{\left( {\frac{n}{2}} \right)!}}{{2!.\left( {\frac{n}{2} - 2} \right)!}} = \frac{1}{2}.\left( {\frac{n}{2} - 1} \right)\left( {\frac{n}{2}} \right) = \frac{1}{8}.\left( {n - 2} \right).n\], nên số cấp số cộng là \[2.C_{\frac{n}{2}}^2 = \frac{1}{4}.\left( {n - 2} \right).n\]

và số kết quả thuận lợi là \[\frac{1}{4}.\left( {n - 2} \right).n.2.\left( {n - 3} \right)! = \frac{1}{2}.\left( {n - 2} \right).n.\left( {n - 3} \right)!\] (do mỗi bộ \[\left( {a;b;c} \right)\] có \[2\] cấp số cộng và ba bạn Khoa, Thảo, Khôi chỉ ngồi vào ba ghế có số ghế tạo thành cấp số cộng chứ không thay đổi vị trí).

Theo đề, có phương trình. \[\frac{{\frac{1}{2}.\left( {n - 2} \right).n.\left( {n - 3} \right)!}}{{n!}} = \frac{{13}}{{675}} \Leftrightarrow \frac{1}{{2\left( {n - 1} \right)}} = \frac{{13}}{{675}} \Leftrightarrow n = \frac{{701}}{{26}}\] (loại).

Trường hợp \[n\] lẻ.

Khi đó, \[A\] có  \[\frac{{n - 1}}{2}\]  phần tử và \[B\] có  \[\frac{{n + 1}}{2}\] phần tử.

Có \[C_{\frac{{n - 1}}{2}}^2 = \frac{{\left( {\frac{{n - 1}}{2}} \right)!}}{{2!.\left( {\frac{{n - 1}}{2} - 2} \right)!}} = \frac{1}{2}.\left( {\frac{{n - 1}}{2} - 1} \right).\left( {\frac{{n - 1}}{2}} \right) = \frac{1}{8}.\left( {n - 3} \right).\left( {n - 1} \right)\]

và \[C_{\frac{{n + 1}}{2}}^2 = \frac{{\left( {\frac{{n + 1}}{2}} \right)!}}{{2!.\left( {\frac{{n + 1}}{2} - 2} \right)!}} = \frac{1}{2}.\left( {\frac{{n + 1}}{2} - 1} \right)\left( {\frac{{n + 1}}{2}} \right) = \frac{1}{8}.\left( {n - 1} \right).\left( {n + 1} \right)\],

nên số cấp số cộng là \[C_{\frac{{n - 1}}{2}}^2 + C_{\frac{{n + 1}}{2}}^2 = \frac{1}{8}\left( {n - 1} \right)\left( {2n - 2} \right) = \frac{1}{4}{\left( {n - 1} \right)^2}\]

và số kết quả có thể là \[\frac{1}{4}{\left( {n - 1} \right)^2}.2.\left( {n - 3} \right)! = \frac{1}{2}{\left( {n - 1} \right)^2}.\left( {n - 3} \right)!\](do mỗi bộ \[\left( {a;b;c} \right)\] có \[2\] cấp số cộng và ba bạn Khoa, Thảo, Khôi chỉ ngồi vào ba ghế có số ghế tạo thành cấp số cộng chứ không thay đổi vị trí).

Theo đề, có phương trình.

\[\frac{{\frac{1}{2}.{{\left( {n - 1} \right)}^2}.\left( {n - 3} \right)!}}{{n!}} = \frac{{13}}{{675}} \Leftrightarrow \frac{{n - 1}}{{2n\left( {n - 2} \right)}} = \frac{{13}}{{675}} \Leftrightarrow 26{n^2} - 727n + 675 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 27\;\left( n \right)\\n = \frac{{25}}{{26}}\;\left( l \right)\end{array} \right.\]

a) Đúng

b) Sai

Vì OM là độ dài đường cao của tam giác cạnh bằng cạnh đáy của khối chóp lục giác đều nên cạnh đáy của khối chóp lục giác đều bằng \(\frac{2}{{\sqrt 3 }}x = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}x\).

c) Đúng

Ta có. \(AM = 4 - x\)nên chiều cao khối chóp lục giác đều là \(\sqrt {{{\left( {4 - x} \right)}^2} - {x^2}}  = \sqrt {16 - 8x} \).

d) Sai

Thể tích khối chóp lục giác đều là

\(V\) lớn nhất \( \Leftrightarrow 64{x^3} - 40{x^4} = 0 \Rightarrow x = \frac{8}{5}.\)

Khi đó. Thể tích lớn nhất của khối chóp lục giác đều bằng .