(0,5 điểm):

Nhân dịp kỷ niệm 50 năm ngày Giải phóng miền nam, thống nhất đất nước \[\left( {30/4/1975 - 30/4/2025} \right)\], Công ty Dệt May X đã thiết kế và sản xuất một mẫu áo thun đặc biệt mang thông điệp "Hướng tới tương lai tươi sáng", nhằm lan tỏa tinh thần đoàn kết và lòng tự hào dân tộc.

Qua khảo sát thị trường, công ty thấy rằng nếu bán mỗi chiếc áo với giá \(330\,\,000\) đồng thì trung bình mỗi tháng bán được \(13\,\,500\) chiếc áo. Nhưng nếu cứ mỗi lần tăng giá thêm \(20\,\,000\) đồng cho mỗi chiếc áo thì số chiếc áo bán ra mỗi tháng giảm đi \(900\) chiếc áo. Hỏi Công ty Dệt May \(X\) nên bán mỗi chiếc áo với giá bao nhiêu để đạt được lợi nhuận lớn nhất, biết rằng chi phí sản xuất một chiếc áo hiện tại là \(190\,\,000\) đồng?

a) Chứng minh bốn điểm \[B,C,E,F\]cùng thuộc một đường tròn.

 Vì \(BE,\,CF\)là hai đường cao của \(\Delta ABC\)nên \(BE \bot AC,\,\,\,CF \bot AB\).

Do\(\Delta BEC\) vuông tại \(E\) nên 3 điểm \(B,E,C\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BC\).

Do\(\Delta BFC\) vuông tại \(F\) nên 3 điểm \(B,F,C\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BC\).

Vậy 4 điểm \[B,C,E,F\] cùng thuộc đường tròn đường kính \(BC\).

                 b) Gọi \(D\) là giao điểm của \(AH\) và \(BC\). Đường kính \(AM\)của đường tròn \(\left( O \right)\)cắt đường thẳng  

                 \(CF\)tại điểm \(P\). Chứng minh  \(\widehat {BAD} = \widehat {CAM}\) và \(AP.BH = AH.CP\).

                 Do \(AM\) là đường kính nên \(\widehat {ABM} = \widehat {ACM} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

                 Ta có \(\widehat {BAD} + \widehat {ABD} = 90^\circ \) (vì \(\Delta ABD\)vuông tại \(D\)) và \(\widehat {CAM} + \widehat {AMC} = 90^\circ \) (vì \(\Delta ACM\)vuông tại \(C\))       Mà \(\widehat {ABD} = \widehat {AMC}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \(AC\)) nên suy ra \(\widehat {BAD} = \widehat {CAM}\)

                 Xét \(\Delta APC\)và \(\Delta AHB\) có:

                 \(\widehat {BAD} = \widehat {CAM}\,\,\,(cmt)\)

                 \(\widehat {ABH} = \widehat {ACP}\,\,\,\)(góc nội tiếp cùng chắn cung \(EF\))

                 Suy ra

                 Nên \(\frac{{AP}}{{AH}} = \frac{{PC}}{{HB}}\) hay \(AP.HB = AH.PC\)

                 c) Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\), đường thẳng\(AI\)cắt \[EF\]tại \(K\). Gọi \(N\)là hình chiếu vuông góc

                 của \(K\) trên \(BC\). Chứng minh \(AN\)đi qua trung điểm của \[EF\].

Gọi \(G\) là trung điểm của \[EF\], \(J\) là giao điểm của \[AM\]và \[EF\], \[AG\] cắt \(BC\) tại \(N'\).

Ta sẽ chứng minh \[KN' \bot BC\].

Ta có: \[\widehat {AEJ} + \widehat {EAJ} = \,\,\,\widehat {ABC} + \widehat {CBM} = \widehat {ABM} = 90^\circ \] nên \(\Delta AJE\)vuông tại \(J\).

Do  nên \(\frac{{A\,E}}{{AB}} = \frac{{AF}}{{AC}} = \frac{{EF}}{{BC}} = \frac{{2GF}}{{2IC}} = \frac{{GF}}{{IC}}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Kết hợp với \(\widehat {AFG} = \widehat {ACI}\)(cùng cộng \(\widehat {BFE}\) bằng \(180^\circ \,).\)

Suy ra

Khí đó \(\widehat {BAG} = \widehat {KAE}\,\,\,\)và \(\frac{{AG}}{{AI}} = \frac{{AF}}{{AC}}\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Tương tự ta có   (do \(\widehat {BAG} = \widehat {KAE}\)và \(\widehat {AEK} = \widehat {ABI}\))

Nên \(\frac{{AK}}{{AN'}} = \frac{{AE}}{{AB}}\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\frac{{AG}}{{AI}} = \frac{{AK}}{{AN'}}\,\,\,\,\)

Mà \[\widehat {N'AI}\] chung nên suy ra \(\widehat {AN'K} = \widehat {AIG}\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\)

\(\Delta IEF\)cân tại \(I\) (do \[IE = IF\]) có \(IG\)là đường trung tuyến nên cũng đồng thời là đường cao.

Suy ra \(IG\)//\(AO\)(vì cùng vuông góc với \[EF\]). Do đó \(\widehat {GIA} = \widehat {IAO}\,\)(so le trong)

Lại có \(\widehat {BAG} = \widehat {KAE}\,\,\left( {cmt} \right)\) và \(\widehat {FAH} = \widehat {JAE}\,\,\left( {cmt} \right)\)nên \[\widehat {IAO}\, = \widehat {GAH}\]

Suy ra \(\widehat {GIA} = \widehat {GAH}\,\,\,\,\,\,\left( 5 \right)\)

Từ (4) và (5) suy ra \(\widehat {AN'K} = \widehat {GAH}\,\)nên \(KN'\)//\(AD\) (so le trong)

Mà \(AD \bot BC\)nên\(KN' \bot BC\). Ta lại có \(KN \bot BC\,\,\left( {gt} \right)\)

Suy ra \(N' \equiv N\)hay \(AN\)đi qua trung điểm \(G\)của \[EF\]. (đpcm)

Gọi \(x,y\) (triệu đồng) lần lượt là doanh thu của mỗi hãng taxi A và B trong ngày thứ nhất.

                 (ĐK: \(0 < x,y < 90\))

                 Vì tổng doanh thu của hai hãng trong ngày thứ nhất là \(90\)(triệu đồng) nên ta có phương

trình: \(x + y = 90\) (1).

Trong ngày thứ hai:

                 • Doanh thu của hãng A tăng \(20\% \) nên doanh thu của hãng A là: \(x + 0,2x = 1,2x\) (triệu đồng)

                 • Doanh thu của hãng B giảm \(10\% \) nên doanh thu của hãng B là: \(y - 0,1y = 0,9y\) (triệu đồng)

                 Vì tổng doanh thu của hai hãng trong ngày thứ hai là \(93\)(triệu đồng) nên ta có phương trình: \(1,2x + 0,9y = 93\) (2)

                 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 90\\1,2x + 0,9y = 93\end{array} \right.\)

                 Nhân \(2\) vế của phương trình thứ nhất cho \(1,2\)ta được hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}1,2x + 1,2y = 108\\1,2x + 0,9y = 93\end{array} \right.\)

                 Trừ từng vế của hai phương trình ta được: \(0,3y = 15\), suy ra \(y = 50\).

                 Thế \(y = 50\) vào phương trình \(x + y = 90\), ta được: \(x + 50 = 90\), suy ra \(x = 40\)

                 Hệ phương trình có nghiệm: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 40\\y = 50\end{array} \right.\) (thỏa mãn điều kiện)

                 Vậy doanh thu của mỗi hãng trong ngày thứ nhất là:

  Hãng A: \(40\) triệu đồng; Hãng B: \(50\) triệu đồng.