Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(y = {x^2} + 8\ln 2x - mx\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0\,;\, + \infty } \right)?\)

Tập xác định của hàm số là: \(D = \left( {0\,;\,\, + \infty } \right)\).

Ta có \(y' = 2x + \frac{8}{x} - m\).

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( {0\,;\,\, + \infty } \right)\) khi \(y' \ge 0\,,\,\,\forall x \in \left( {0\,;\,\, + \infty } \right)\)

\( \Leftrightarrow m \le 2x + \frac{8}{x}\,,\,\,\forall x \in \left( {0\,;\,\, + \infty } \right)\).

Đặt \(f\left( x \right) = 2x + \frac{8}{x}\), có \(f'\left( x \right) = 2 - \frac{8}{{{x^2}}} = \frac{{2{x^2} - 8}}{{{x^2}}},f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2\) (do \(x \in \left( {0\,;\,\, + \infty } \right)\)).

Bảng biến thiên của hàm số \(f\left( x \right)\) trên khoảng \(\left( {0\,;\,\, + \infty } \right)\) như sau:

Suy ra hàm số đồng biến trên \(\left( {0\,;\,\, + \infty } \right)\) khi \(m \le 8\).

Mà \(m\) là số nguyên dương nên \[m \in \left\{ {1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\,4\,;\,\,5\,;\,\,6\,;\,\,7\,;\,\,8} \right\}\].

Vậy có 8 giá trị của \(m\) thoả mãn yêu cầu bài toán. Chọn A.