Một cổng chào có dạng hình Parabol chiều cao 18 m, chiều rộng tại chân cổng 12 m như hình vẽ bên. Người ta căng hai sợi dây trang trí AB,CD nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn bởi Parabol và mặt đất thành ba phần có diện tích bằng nhau. Tỉ số $\frac{AB}{CD}$ bằng bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống, làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Đáp án  ____

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ bên.

Phương trình Parabol có dạng \(y = a{x^2}\,\,\,\left( P \right)\).

\(\left( P \right)\) đi qua điểm có tọa độ \(\left( { - 6; - 18} \right)\), suy ra \( - 18 = a \cdot {\left( { - 6} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow a = - \frac{1}{2} \Rightarrow \left( P \right):y = - \frac{1}{2}{x^2}\). Từ hình vẽ ta có: \(\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}}\).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol và đường thẳng AB: \(y = - \frac{1}{2}x_1^2\) là:

\({S_1} = 2\int\limits_0^{{x_1}} {\left[ { - \frac{1}{2}{x^2} - \left( { - \frac{1}{2}x_1^2} \right)} \right]dx} = \left. {2\left( { - \frac{1}{2} \cdot \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{1}{2}x_1^2 \cdot x} \right)} \right|_0^{{x_1}} = \frac{2}{3}x_1^3\).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol và đường thẳng CD: \(y = - \frac{1}{2}x_2^2\) là:

\({S_2} = 2\int\limits_0^{{x_2}} {\left[ { - \frac{1}{2}{x^2} - \left( { - \frac{1}{2}x_2^2} \right)} \right]dx} = \left. {2\left( { - \frac{1}{2} \cdot \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{1}{2}x_2^2 \cdot x} \right)} \right|_0^{{x_2}} = \frac{2}{3}x_2^3\).

Từ giả thiết suy ra \({S_2} = 2{S_1} \Leftrightarrow x_2^3 = 2x_1^3 \Leftrightarrow \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}\). Vậy \(\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}} \approx 0,8\).

Đáp án cần nhập là: \[0,8\].