Biết rằng \(\frac{x}{4} = \frac{y}{9}\) và \(x - y = 10\). Tính giá trị của \(A = 2x + y.\)

Gọi độ dài các cạnh của tam giác đó là \[x,y,z{\rm{ }}\left( {x,y,z > 0} \right)\] .

Theo đề bài, ta có: \[\frac{x}{5} = \frac{y}{6} = \frac{z}{7}\] và \[x + y + z = 36\].

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: \[\frac{x}{5} = \frac{y}{6} = \frac{z}{7} = \frac{{x + y + z}}{{5 + 6 + 7}} = \frac{{36}}{{18}} = 2\].

Suy ra \[x = 5 \cdot 2 = 10;{\rm{ }}y = 6 \cdot 2 = 12;{\rm{ }}z = 7 \cdot 2 = 14\].

Do đó, độ dài cạnh lớn nhất của tam giác đó là 14.

Ta có \(\frac{x}{3} = \frac{y}{5}\) nên áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{{x + y}}{{3 + 5}} = \frac{{24}}{8} = 3\).

Suy ra \(\frac{x}{3} = 3\) nên \(x = 9\), \(\frac{y}{5} = 3\) nên \(y = 15.\)

Do đó, \(3x + 5y = 3.9 + 5.15 = 102\).