Một học sinh dùng một sợi dây buộc một vật có khối lượng 5,0.10²kg đang rơi qua ròng rọc vào trục bánh guồng. Học sinh này đặt hệ thống vào một bể chứa 25,0 kg nước cách nhiệt tốt. Khi vật rơi xuống sẽ làm cho bánh guồng quay và khuấy động nước (Hình 1.3). Nếu vật rơi một khoảng cách thẳng đứng 1,00.10²m với vận tốc không đổi thì nhiệt độ của nước tăng bao nhiêu độ? Biết nhiệt dung riêng của nước là 4,20kJ/(kg.K), g=9,81m/s².

Lời giải:

a) Phương trình Clapeyron với khối lượng riêng: \[\frac{{{p_1}}}{{{T_1}{\rho _0}}} = \frac{R}{M}.\]

Thay số vào phương trình tìm khối lượng riêng của không khí:

          \(\frac{{{{1,013.10}^5}}}{{1,2\left( {20 + 273} \right)}} = \frac{{8,31}}{M} \Rightarrow M \approx 0,0288\left( {kg/mol} \right) = 28,8\left( {g/mol} \right)\)

⟶ a đúng.

b) Vì ban đầu khí cầu có lỗ hở ở dưới nên áp suất luôn bằng áp suất khí quyển.

⟶ b sai.

c) Khí cầu bắt đầu bay lên:

          \({F_A} = {P_v} + {P_k} \Rightarrow {\rho _0}.{g_V} = mg + {\rho _k}gV \Rightarrow {\rho _0}V = m + {\rho _k}V\left( 1 \right)\)

Thay số vào (1) ta được:

          \(1,2.1,15 = 0,2 + {\rho _k}.1,15 \Rightarrow {\rho _k} = \frac{{118}}{{115}}\left( {kg/{m^3}} \right)\)

Do \({p_1} = const \Rightarrow {\rho _0}{T_1} = {\rho _k}T\)

⇒ \(1,2.\left( {20 + 273} \right) = \frac{{118}}{{115}}.T \Rightarrow T \approx 342,7K \Rightarrow t \approx {69,7^0}C\)

⟶ c sai.

d) Với nhiệt độ \({t_2} = {110^0}C\) thì ban đầu \({F_A} > P\) cho đến khi \({F_A} = P\) thì đạt độ cao cực đại.

Áp dụng phương trình Clapeyron với khối lượng riêng, với áp suất không đổi ta được: \({\rho _0}{T_1} = {\rho _2}{T_2} \Rightarrow 1,2.\left( {20 + 273} \right) = {\rho _2}.\left( {110 + 273} \right) \Rightarrow {\rho _2} = \frac{{1758}}{{1915}}\left( {kg/{m^3}} \right)\)

Khi đến độ cao cực đại: \({F_A} = P\)

\( \Leftrightarrow {F_A} = {P_v} + {P_k}\)

\( \Rightarrow \rho  \cdot gV = mg + {\rho _2}gV\)

\( \Rightarrow \rho V = m + {\rho _2}V\quad (2)\)

Thay số vào \((2)\) ta được:

\(\rho  \cdot 1,15 = 0,2 + \frac{{1758}}{{1915}} \cdot 1,15\)

\( \Rightarrow \rho  \approx 1,09193{\rm{ (kg/}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}\)

Với \(\rho  = {\rho _0}{e^{\frac{{{\rho _0}gh}}{{{p_1}}}}} \Leftrightarrow 1,09193 = 1,2 \cdot {2,718^{\frac{{1,2 \cdot 10 \cdot h}}{{1,013 \cdot {{10}^5}}}}}\)

\( \Rightarrow h \approx 796,8{\rm{ (m)}}\)

\( \to \) d đúng.

Lời giải:

Ta có \(vc = \sqrt {\frac{{3RT}}{M}}  = \sqrt {\frac{{3.8,314.\left( {17 + 273} \right)}}{{29.10 - 3}}}  \approx 500m/s.\)