Cho hàm số $y= x^3-3(m+1)x^2+3mx+2$ có đồ thị (C). Có bao nhiêu giá trị của m để (C) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt A(1;0), B, C sao cho tiếp tuyến tại B và C của C song song với nhau (nhập đáp án vào ô trống)?

Đáp án  __

Phương trình hoành độ giao điểm là: \({x^3} - 3\left( {m + 1} \right){x^2} + 3m{\rm{x}} + 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left[ {{x^2} - \left( {3m + 2} \right)x - 2} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\g\left( x \right) = {x^2} - \left( {3m + 2} \right)x - 2 = 0\end{array} \right.\).

+) Để \(\left( C \right)\) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt \( \Leftrightarrow g\left( x \right) = 0\) có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta = {\left( {3m + 2} \right)^2} + 8 > 0\\g\left( 1 \right) = - 3m - 3 \ne 0\end{array} \right.\left( * \right)\).

Khi đó gọi, \(B\left( {{x_1};0} \right),C\left( {{x_2};0} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3m + 2\\{x_1}{x_2} = - 2\end{array} \right.\left( {{x_1} \ne {x_2}} \right)\).

Ta có: \({k_1} = y'\left( {{x_1}} \right) = 3{\rm{x}}_1^2 - 6\left( {m + 1} \right){x_1} + 3m,{k_2} = y'\left( {{x_2}} \right) = 3x_2^2 - 6\left( {m + 1} \right){x_2} + 3m\)

Do tiếp tuyến tại B và C song song nên ta có: \({k_1} = {k_2} \Leftrightarrow x_1^2 - 2\left( {m + 1} \right){x_1} = x_2^2 - 2\left( {m + 1} \right){x_2}\)

\( \Leftrightarrow \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} + {x_2} - 2m - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = 2m + 2 \Leftrightarrow 3m + 2 = 2m + 2 \Leftrightarrow m = 0\) (t/m).

Vậy có 1 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.