Giải các bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

1) Gia đình bạn Nam có một khu vườn hình chữ nhật để trồng rau sạch. Nếu tăng chiều dài thêm \(3\)m và tăng chiều rộng thêm \(2\)m thì diện tích khu vườn tăng \(84\,{m^2}\). Nếu giảm cả chiều dài và rộng đi \(1\) m để làm lối đi xung quanh thì diện tích khu vườn giảm \(31\,{m^2}\). Tính chiều dài và chiều rộng khu vườn ban đầu?

2) Đề kịp thời chuyển \(36\) tấn hàng cứu trợ vào vùng lũ, đội vận chuyển đã huy động một số xe tải, dự định chia đều số hàng cho các xe. Ngay trước lúc khởi hành, địa phương điều động

hỗ trợ thêm \(3\) xe nữa, nhờ vậy lượng hàng phải chở trên mỗi xe giảm xuống \(1\) tấn so với kế hoạch ban đầu. Hỏi ban đầu đội vận chuyển đã chuẩn bị bao nhiêu xe?

1) Bán kính đường tròn lớn là \(20:2 = 10\left( {cm} \right)\)

Bán kính đường tròn nhỏ là: \(14:2 = 7cm\)

Diện tích phần viền tráng men xanh của đĩa xứ là:

\(S = \pi \left( {{{10}^2} - {7^2}} \right) = 51\pi  \approx 51.3,14 = 160,14 \approx 160\left( {c{m^2}} \right)\)

2)

a) \(\Delta BEC\) vuông tại \(E\), có \(EI\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(BC\), nên:

\(IE = IB = IC = \frac{1}{2}BC\)

\(\Delta BDC\) vuông tại \(D\), có \(DI\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(BC\), nên:

\(ID = IB = IC = \frac{1}{2}BC\)

Do đó \(IB = IC = ID = IE\,\left( { = \frac{1}{2}BC} \right)\)

Vậy bốn điểm \(B\,,\,D\,,\,C\,,\,E\) cùng thuộc đường tròn tâm \(I\), đường kính \(BC\).

Xét \(\left( I \right)\), có \(DE\) là dây cung không đi qua tâm, do đó \(DE < BC\)

b) Xét \(\Delta ADB\) và \(\Delta AEC\), có: \(\widehat {ADB} = \widehat {AEC} = 90^\circ \) và \(\widehat {BAC}\) chung, nên  (g.g)

Suy ra \(\frac{{AD}}{{AE}} = \frac{{AB}}{{AC}} \Rightarrow AE.AB = AD.AC\)

\(\Delta ABC\) có hai đường cao \(BD\) và \(CE\) cắt nhau tại \(H\), nên \(H\) là trực tâm của \(\Delta ABC\)

Suy ra \(AH \bot BC\) \( \Rightarrow \widehat {ABC} + \widehat {BAH} = 90^\circ \) hay \(\widehat {IBE} + \widehat {OAE} = 90^\circ \)

Do \(IB = IE\left( { = \frac{1}{2}BC} \right)\) nên \(\Delta IBE\) cân tại \(I\) \( \Rightarrow \widehat {IEB} = \widehat {IBE}\)

\(\Delta AEH\) vuông tại \(E\), có \(EO\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AH\) nên \(OE = OA = OH = \frac{1}{2}AH\)

Do đó \(\Delta OAE\) cân tại \(O\) \( \Rightarrow \widehat {OEA} = \widehat {OAE}\)

Suy ra \(\widehat {IEB} + \widehat {OEA} = \widehat {IBE} + \widehat {OAE} = 90^\circ \) \( \Rightarrow \widehat {OEI} = 90^\circ \)

Vậy \(OE \bot EI\)

c) Chứng minh tương tự câu b, ta cũng có: \(OD \bot DI\)

\(\Delta ADH\) vuông tại \(D\), có \(DO\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên: \(OD = OA = OH = \frac{1}{2}AH\)

Suy ra \(OD = OE\left( { = \frac{1}{2}AH} \right)\) nên \(O\) thuộc đường trung trực của \(DE\)

Mà \(ID = IE\left( { = \frac{1}{2}BC} \right)\) nên \(I\) thuộc đường trung trực của \(DE\)

Do đó \(OI\) là đường trung trực của \(DE\) hay \(OI \bot DE\)

Gọi \(G\) là giao điểm của \(OI\) và \(DE\); \(K\) là giao điểm của \(AI\) và \(OS\).

Ta có:  (g.g) \( \Rightarrow \frac{{OD}}{{OI}} = \frac{{OG}}{{OD}} \Rightarrow O{D^2} = OG.OI\)

 (g.g) \( \Rightarrow \frac{{OK}}{{OG}} = \frac{{OI}}{{OS}} \Rightarrow OK.OS = OG.OI\)

Do đó \(OK.OS = O{D^2} = O{A^2}\)\( \Rightarrow \frac{{OK}}{{OA}} = \frac{{OA}}{{OS}}\)

Xét \(\Delta OKA\) và \(\Delta OAS\), có: \(\frac{{OK}}{{OA}} = \frac{{OA}}{{OS}}\) và \(\widehat {AOS}\) chung

Do đó  (c.g.c)

\( \Rightarrow \widehat {OAS} = \widehat {OKA} = 90^\circ \) \( \Rightarrow SA \bot AO\) hay \(SA \bot AH\), mà \(AH \bot BC\) nên \(SA\,{\rm{//}}\,BC\) (đpcm)