Cho hàm số \(y = \frac{{2{\rm{x}}}}{{x + 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Các điểm \(M \in \left( C \right)\) sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M cắt hai trục tọa độ tại A, B với diện tích tam giác OAB bằng \(\frac{1}{4}\) có dạng \({M_1}\left( {a;b} \right),{M_2}\left( {c;d} \right)\). Khi đó tổng \(a + b + c + d\) bằng:

Gọi \(M\left( {{x_0};\frac{{2{{\rm{x}}_0}}}{{{x_0} + 1}}} \right)\).

Ta có \(y'\left( {{x_0}} \right) = \frac{2}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}\) nên phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại M là

\(y - \frac{{2{{\rm{x}}_0}}}{{{x_0} + 1}} = y'\left( {{x_0}} \right) \cdot \left( {x - {x_0}} \right) \Leftrightarrow y - \frac{{2{{\rm{x}}_0}}}{{{x_0} + 1}} = \frac{2}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}} \cdot \left( {x - {x_0}} \right)\) (d)

Ÿ Tiếp tuyến d cắt Ox tại \(A\left( { - x_0^2;0} \right) \Rightarrow OA = x_0^2\).

Ÿ Tiếp tuyến d cắt Oy tại \(B\left( {0;\frac{{2{\rm{x}}_0^2}}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}} \right) \Rightarrow OB = \frac{{2{\rm{x}}_0^2}}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}\).

Do đó \({S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}OA \cdot OB = \frac{{x_0^4}}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = - \frac{1}{2} \Rightarrow {y_0} = - 2\\{x_0} = 1 \Rightarrow {y_0} = 1\end{array} \right.\).

Vậy \[a + b + c + d = - \frac{1}{2}\]. Chọn D.