Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm cấp hai trên \(\mathbb{R}\). Biết \(f'\left( 0 \right) = 3,f'\left( 2 \right) = - 2018\) và bảng xét dấu của \(f''\left( x \right)\) như sau:

Hàm số \(y = f\left( {x + 2017} \right) + 2018x\) đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm \({x_0}\) thuộc khoảng nào sau đây?

Dựa vào bảng xét dấu của \(f''\left( x \right)\) ta có bảng biến thiên của hàm số \(f'\left( x \right)\):

Đặt \(t = x + 2017\). Ta có \(y = f\left( {x + 2017} \right) + 2018x = f\left( t \right) + 2018t - 2017 \cdot 2018 = g\left( t \right)\).

Khi đó, \(g'\left( t \right) = f'\left( t \right) + 2018\). Dựa vào bảng biến thiên của hàm số \(f'\left( x \right)\) suy ra phương trình \(g'\left( t \right)\) có một nghiệm đơn \(\alpha \in \left( { - \infty ;0} \right)\) và một nghiệm kép \(t = 2\).

Ta có bảng biến thiên của hàm số \(g\left( t \right)\) như sau:

Hàm số \(g\left( t \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \({t_0} = \alpha \in \left( { - \infty ;0} \right)\). Suy ra hàm số \(y = f\left( {x + 2017} \right) + 2018x\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \({x_0}\), mà \({x_0} + 2017 \in \left( { - \infty ;0} \right) \Leftrightarrow {x_0} \in \left( { - \infty ; - 2017} \right)\). Chọn A.