Trong không gian \(Oxyz\), mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau \(\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 4}}{3}\) và \(\frac{{x + 1}}{1} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{3}\) có phương trình là:

Đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 4}}{3}\) đi qua điểm \(M\left( {1; - 2;4} \right)\), có một VTCP là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 2;1;3} \right)\). Đường thẳng \({d_2}:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{3}\) có một VTCP là \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1; - 1;3} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa hai đường thẳng cắt nhau \({d_1},{d_2}\)\( \Rightarrow \)\(\left( P \right)\) qua điểm \(M\left( {1; - 2;4} \right),\) có một VTPT là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {6;9;1} \right)\). Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là:

\(6\left( {x - 1} \right) + 9\left( {y + 2} \right) + \left( {z - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow 6x + 9y + z + 8 = 0\). Chọn C.