1) Cho  \(\Delta ABC\) trung tuyến \(AD.\) Vẽ tia phân giác của \[\widehat {ADB}\] cắt \(AB\) tại \(M,\) tia phân giác của \[\widehat {ADC}\] cắt \(AC\) tại \(N.\) Chứng minh rằng:

a) \[\frac{{MB}}{{MA}} = \frac{{BD}}{{AD}}.\]     b) \(MN\,{\rm{//}}\,BC.\)

2) Cho tam giác \(ABC\) có \(AB < AC.\) Tia phân giác \(\widehat {BAC}\) cắt cạnh \(BC\) tại điểm \(D.\) Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC.\) Qua điểm \(M\) kẻ đường thẳng song song với đường thẳng \(AD\) cắt các đường thẳng \(AC,\,\,AB\) lần lượt tại \(E\) và \(K.\) Chứng minh rằng:

a) Tam giác \(AEK\) cân.                        b) \(BK = EC.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Theo tính chất tỉ lệ thức ta có từ \(\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{3}{8},\) suy ra \(\frac{{AM}}{{AM + MB}} = \frac{3}{{3 + 8}}\) hay \[\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{3}{{11}}.\]

Hướng dẫn giải

a) Đồ thị hàm số \[y = ax + b{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\] đi qua điểm \[A\left( {3;--1} \right)\] nên ta có:

\[ - 1 = a \cdot 3 + b,\] do đó \(b =  - 3a - 1.\)

Đồ thị hàm số \[y = ax + b{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\] đi qua điểm \[B\left( {2;--5} \right)\] nên ta có:

\[ - 5 = a \cdot 2 + b\,\,\left( * \right)\]

Thay \(b =  - 3a - 1\) vào \(\left( * \right)\) ta được:

\[ - 5 = a \cdot 2 - 3a - 1\]

\(a = 4.\)

Suy ra \(b =  - 3 \cdot 4 - 1 =  - 13.\)

Vậy \(a = 4\) và \(b =  - 13.\)

b) Do đồ thị hàm số \[y = ax + b{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\] song song với đường thẳng \(y = \frac{3}{2}x - 24,\) nên ta có \(a = \frac{3}{2}\) và \(b \ne  - 24.\) Khi đó ta có hàm số \[y = \frac{3}{2}x + b{\rm{ }}\left( {b \ne  - 24} \right).\]

Hoành độ giao điểm của \[\left( {{d_1}} \right):y = x + 1\] và \[\left( {{d_2}} \right):y = 2x--3\] là nghiệm của phương trình: \(x + 1 = 2x - 3\)

\(x = 4.\)

Thay \(x = 4\) vào hàm số \(y = x + 1\) ta được \(y = 4 + 1 = 5.\)

Do đó hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) cắt nhau tại điểm \(\left( {4;5} \right).\)

Do đường thẳng \[y = \frac{3}{2}x + b{\rm{ }}\left( {b \ne  - 24} \right)\] đi qua điểm \(\left( {4;5} \right)\) nên ta có:

\[5 = \frac{3}{2} \cdot 4 + b,\] do đó \(b =  - 1\) (thỏa mãn).

Vậy \(a = \frac{3}{2}\) và \(b =  - 1.\)

c) Do đường thẳng \[y = ax + b{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\] vuông góc với đường thẳng \(y =  - \frac{1}{4}x + 9\) nên ta có \(a \cdot \left( { - \frac{1}{4}} \right) =  - 1,\) suy ra \(a = 4\) (thỏa mãn). Khi đó ta có hàm số \(y = 4x + b.\)

Đường thẳng \(y = 4x + b\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 nên ta có:

\(5 = 4 \cdot 0 + b,\) do đó \(b = 5.\)

Vậy \(a = 4\) và \(b = 5.\)