1) Tìm độ dài \[x,{\rm{ }}y\] trong mỗi trường hợp sau:

Hình 1

Hình 2

2) Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 4{\rm{\;cm}},\) \(AC = 5{\rm{\;cm}},\) \(BC = 6{\rm{\;cm}}.\) Các đường phân giác \(BD\) và \(CE\) cắt nhau tại \(I.\)

a) Tính \(AD,\,\,DC.\)

b) Tính các tỉ số \(\frac{{DI}}{{DB}},\,\,\frac{{BE}}{{BA}},\,\,\frac{{AD}}{{AC}}.\)

c) Tính tỉ số diện tích các tam giác \(DIE\) và \(ABC.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét \(\Delta ABC\) với \[MN\,{\rm{//}}\,BC,\] ta có:

⦁ \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{AN}}{{AC}}\) (hệ quả của định lí Thalès). Suy ra \(\frac{{AM}}{{MN}} = \frac{{AB}}{{BC}}.\) Do đó A là khẳng định đúng.

Xét \(\Delta ABC\) với \[NP\,{\rm{//}}\,AB\,,\] ta có:

⦁ \(\frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{BP}}{{BC}}\) (hệ quả của định lí Thalès). Do đó B là khẳng định đúng.

⦁ \(\frac{{CP}}{{BP}} = \frac{{CN}}{{AN}}\) (định lí Thalès). Do đó C là khẳng định đúng.

⦁ \(\frac{{CN}}{{AC}} = \frac{{NP}}{{AB}}\) (hệ quả của định lí Thalès).

Ta có \(AN \ne CN\) nên \(\frac{{AN}}{{AC}} \ne \frac{{CN}}{{AC}}\).

Mà \(\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{AN}}{{AC}}\) và \(\frac{{CN}}{{AC}} = \frac{{NP}}{{AB}}\) nên \(\frac{{MN}}{{BC}} \ne \frac{{NP}}{{AB}}.\) Do đó D là khẳng định sai.

Vậy ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

a) Để đường thẳng \(\left( {{d_3}} \right):y =  - 2mx + 5\) là đồ thị của hàm số bậc nhất thì \( - 2m \ne 0,\) hay \(m \ne 0.\)

b) Đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y =  - 2x\) có \({a_1} =  - 2;\)

Đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right):y = 1,5x + 7\) có \({a_2} = 1,5.\)

Do \({a_1} \ne {a_2}\) nên hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right)\) cắt nhau.

Hoành độ giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) là nghiệm của phương trình:

\( - 2x = 1,5x + 7\)

\(3,5x =  - 7\)

\(x =  - 2.\)

Thay \(x =  - 2\) vào hàm số \(y =  - 2x,\) ta được \(y =  - 2 \cdot \left( { - 2} \right) = 4.\)

Vậy giao điểm của hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) là \(A\left( { - 2;4} \right).\)

c) Để \(\left( {{d_3}} \right)\) cắt \(\left( {{d_1}} \right)\) thì \( - 2m \ne  - 2,\) do đó \(m \ne 1.\)

Để \(\left( {{d_3}} \right)\) cắt \(\left( {{d_2}} \right)\) thì \( - 2m \ne 1,5,\) do đó \(m \ne  - \frac{3}{4}.\)

Khi đó ba đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right)\) và \(\left( {{d_3}} \right)\) cắt nhau tại một điểm thì đường thẳng \(\left( {{d_3}} \right)\) đi qua giao điểm \(A\left( { - 2;4} \right)\) của hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right).\)

Do đó \(4 =  - 2m \cdot \left( { - 2} \right) + 5\)

\(4m =  - 1\)

\(m =  - \frac{1}{4}\) (thỏa mãn).

Vậy \(m =  - \frac{1}{4}\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.