PHẦN II. TỰ LUẬN

Giả sử rằng lượng cung \[S\] và lượng cầu \[D\] về áo phông tại một buổi biểu diễn được cho bởi các hàm số sau:

\[S\left( p \right) = --600 + 10p;{\rm{ }}\,\,\,D\left( p \right) = 1{\rm{ }}200--20p,\]

trong đó \[p\] (nghìn đồng) là giá của một chiếc áo phông.

a) Tìm mức giá cân bằng (tức là mức giá mà lượng cung bằng lượng cầu) của áo phông tại buổi biểu diễn này.

b) Vẽ đồ thị của hai hàm số \[S\left( p \right)\] và \[D\left( p \right)\] trên cùng một hệ trục tọa độ.

c) Từ đồ thị vẽ được ở câu b, xác định mức giá của áo phông mà lượng cung lớn hơn lượng cầu. Khi đó, điều gì sẽ xảy ra?

Hướng dẫn giải

a) Để đường thẳng \(\left( d \right):y = \left( {m + 2} \right)x + m\)  song song với đường thẳng \(\left( {d'} \right):y =  - x + 2\) thì \(m + 2 =  - 1\) và \[m \ne  - 1,\] do đó \(m =  - 3\) (thỏa mãn \[m \ne  - 1).\]

Vậy \(m =  - 3.\)

b) Để đường thẳng \(\left( d \right):y = \left( {m + 2} \right)x + m\)  cắt trục \(Ox\) thì \(m + 2 \ne 0,\) hay \(m \ne  - 2.\)

Vì \(A \in Ox\) nên ta gọi \(A\left( {{x_1};0} \right)\) và vì \(B \in Oy\) nên ta gọi \(B\left( {0;{y_2}} \right).\)

Vì \(A\left( {{x_1};0} \right) \in \left( d \right):y = \left( {m + 2} \right)x + m\) nên ta có \(0 = \left( {m + 2} \right){x_1} + m,\) suy ra \({x_1} =  - \frac{m}{{m + 2}}\) (do \(m \ne  - 2).\) Do đó \(A\left( { - \frac{m}{{m + 2}};0} \right).\) Suy ra \(OA = \left| { - \frac{m}{{m + 2}}} \right| = \frac{{\left| m \right|}}{{\left| {m + 2} \right|}}.\)

Vì \(B\left( {0;{y_2}} \right) \in \left( d \right):y = \left( {m + 2} \right)x + m\) nên ta có \({y_2} = \left( {m + 2} \right) \cdot 0 + m = m.\) Do đó \(B\left( {0;m} \right).\) Suy ra \(OB = \left| m \right|.\)

Khi đó diện tích tam giác \(OAB\) vuông tại \(O\) là \({S_{OAB}} = \frac{1}{2}OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot \frac{{\left| m \right|}}{{\left| {m + 2} \right|}} \cdot \left| m \right| = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{m^2}}}{{\left| {m + 2} \right|}}.\)

Theo bài, \({S_{OAB}} = \frac{1}{2},\) nên \(\frac{1}{2} \cdot \frac{{{m^2}}}{{\left| {m + 2} \right|}} = \frac{1}{2},\) suy ra \({m^2} = \left| {m + 2} \right|.\)

Vì \({m^2} \ge 0\) với mọi \(m \ne  - 2\) nên ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1. \(m + 2 = {m^2}\)

\({m^2} - m - 2 = 0\)

\({m^2} + m - 2m - 2 = 0\)

\(m\left( {m + 1} \right) - 2\left( {m + 1} \right) = 0\)

\(\left( {m + 1} \right)\left( {m - 2} \right) = 0\)

\(m + 1 = 0\) hoặc \(m - 2 = 0\)

\(m =  - 1\) (thỏa mãn) hoặc \(m = 2\) (thỏa mãn).

Trường hợp 2. \(m + 2 =  - {m^2}\)

\({m^2} + m + 2 = 0\)

\({m^2} + 2 \cdot m \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{7}{4} = 0\)

\({\left( {m + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4} = 0\)

Vì \({\left( {m + \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(m \ne  - 2\) nên \({\left( {m + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4} > 0,\) do đó trường hợp này không xảy ra.

Vậy \(m \in \left\{ { - 1;2} \right\}.\)