Trong không gian \(Oxyz,\) cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{{ - 3}}.\) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1\,;0\,;1} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(d\) có phương trình là:   

Vì \(A'M \cap \left( {AB'C} \right) = B'\).

Suy ra \(d\left( {M,\left( {AB'C} \right)} \right) = \frac{{MB'}}{{A'B'}} \cdot d\left( {A',\left( {AB'C} \right)} \right) = \frac{2}{3} \cdot d\left( {A',\left( {AB'C} \right)} \right) = \frac{2}{3} \cdot d\left( {B,\left( {AB'C} \right)} \right)\).

Từ \(B\) kẻ \(BN \bot AC\) tại \(N\), kẻ \(BH \bot B'N\) tại \(H\) thì \(d\left( {B,\left( {AB'C} \right)} \right) = BH\).

Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\) nên \(BN = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Tam giác \(B'BN\) vuông tại \(B\) nên \(BH = \frac{{BB' \cdot BN}}{{\sqrt {B{{B'}^2} + B{N^2}} }} = \frac{{2\sqrt {57} a}}{{19}}\).

Vậy \(d\left( {M,\left( {AB'C} \right)} \right) = \frac{2}{3} \cdot d\left( {B,\left( {AB'C} \right)} \right) = \frac{2}{3}BH = \frac{2}{3} \cdot \frac{{2\sqrt {57} a}}{{19}} = \frac{{4\sqrt {57} a}}{{57}}\).

Gọi \(h\left( t \right)\) là độ cao của viên đạn bắn lên từ mặt đất sau \(t\) giây kể từ thời điểm đạn được bắn lên.

Khi đó \(h\left( t \right) = \int {v\left( t \right)} \,{\rm{dt}} = \int {\left( {25 - 9,8t} \right)} \,{\rm{dt}} = 25t - 4,9{t^2} + C\,\,\left( {\rm{m}} \right)\).

Do \[h\left( 0 \right) = 1\] nên \(C = 1\) \( \Rightarrow h\left( t \right) = - 4,9{t^2} + 25t + 1\,\,\left( {\rm{m}} \right)\).

Vậy viên đạn đạt độ cao lớn nhất là \(h = - \frac{\Delta }{{4a}} = \frac{{3223}}{{98}}\,\,\left( {\rm{m}} \right)\) khi \(t = - \frac{b}{{2a}} = \frac{{125}}{{49}}\) giây. Chọn B.