Trong không gian \(Oxyz\) (đơn vị mỗi trục tọa độ là km). Một trạm phát sóng được đặt tại vị trí \(A\left( {0\,;1\,;3} \right)\) và có vùng phủ sóng là hình cầu bán kính \(5\,{\rm{km}}\). Một con đường thẳng được mô hình hóa bởi đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{z}{2}\).

a) Sai. Từ \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{z}{2}\) \( \Rightarrow \overrightarrow u = \left( {1\,; - 1\,;2} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\).

b) Đúng. Mặt cầu tâm \(A\left( {0;1;3} \right)\), bán kính \(R = 5\) có phương trình là \({x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25\).

c) Sai. Phương trình tham số của \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - t\\z = 2t\end{array} \right.\).

\(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(d\)\( \Rightarrow H \in d \Rightarrow H\left( {t + 1\,; - t\,;2t} \right)\).

Khi đó \(\overrightarrow {AH} = \left( {t + 1\,; - t - 1\,;2t - 3} \right)\).

\(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(d\)\( \Leftrightarrow AH \bot d \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} \bot \vec u\)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} \cdot \vec u = 0 \Leftrightarrow 6t - 4 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{2}{3}\).

\( \Rightarrow H\left( {\frac{5}{3}; - \frac{2}{3};\frac{4}{3}} \right)\).

d) Đúng. Đường thẳng \(d\) cắt mặt cầu tại \(2\) điểm phân biệt \(M,N\).

Tọa độ của \(M,N\) là nghiệm của hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - t\\z = 2t\\{x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25.\end{array} \right.\)

Giải hệ trên ta được \(\left\{ \begin{array}{l}t = - 1\\t = \frac{7}{3}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow M\left( {0\,;1\,; - 2} \right),N\left( {\frac{{10}}{3}; - \frac{7}{3}\,;\frac{{14}}{3}} \right)\). Khi đó \(MN = \frac{{10\sqrt 6 }}{3} \approx 8,16\).

Vậy đoạn đường nằm trong vùng phủ sóng là \(8,16\,{\rm{km}}\).