↵

Phần III (1 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Đối với mỗi câu, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày suy luận. Đối với mỗi câu trả lời đúng, thí sinh được 0,25 điểm.

Nhà máy \(A\) chuyên sản xuất một loại sản phẩm cung cấp cho nhà máy \(B\). Hai nhà máy thoả thuận, mỗi tháng \(A\) cung cấp cho \(B\) số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của \(B\) (tối đa \(100\) tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là \(x\) tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là \(P\left( x \right) = 45 - 0,001{x^2}\) (triệu đồng). Chi phí để \(A\) sản xuất \(x\) tấn sản phẩm trong một tháng là \(C\left( x \right) = 100 + 30x\) (triệu đồng) (gồm \(100\) triệu đồng chi phí cố định và \(30\) triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm). Để mỗi tháng thu được lợi nhuận lớn nhất thì \(A\) cần bán cho \(B\) khoảng bao nhiêu tấn sản phẩm?

_________

Vì \(A'M \cap \left( {AB'C} \right) = B'\).

Suy ra \(d\left( {M,\left( {AB'C} \right)} \right) = \frac{{MB'}}{{A'B'}} \cdot d\left( {A',\left( {AB'C} \right)} \right) = \frac{2}{3} \cdot d\left( {A',\left( {AB'C} \right)} \right) = \frac{2}{3} \cdot d\left( {B,\left( {AB'C} \right)} \right)\).

Từ \(B\) kẻ \(BN \bot AC\) tại \(N\), kẻ \(BH \bot B'N\) tại \(H\) thì \(d\left( {B,\left( {AB'C} \right)} \right) = BH\).

Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\) nên \(BN = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Tam giác \(B'BN\) vuông tại \(B\) nên \(BH = \frac{{BB' \cdot BN}}{{\sqrt {B{{B'}^2} + B{N^2}} }} = \frac{{2\sqrt {57} a}}{{19}}\).

Vậy \(d\left( {M,\left( {AB'C} \right)} \right) = \frac{2}{3} \cdot d\left( {B,\left( {AB'C} \right)} \right) = \frac{2}{3}BH = \frac{2}{3} \cdot \frac{{2\sqrt {57} a}}{{19}} = \frac{{4\sqrt {57} a}}{{57}}\).

a) Sai. Từ \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{z}{2}\) \( \Rightarrow \overrightarrow u = \left( {1\,; - 1\,;2} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\).

b) Đúng. Mặt cầu tâm \(A\left( {0;1;3} \right)\), bán kính \(R = 5\) có phương trình là \({x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25\).

c) Sai. Phương trình tham số của \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - t\\z = 2t\end{array} \right.\).

\(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(d\)\( \Rightarrow H \in d \Rightarrow H\left( {t + 1\,; - t\,;2t} \right)\).

Khi đó \(\overrightarrow {AH} = \left( {t + 1\,; - t - 1\,;2t - 3} \right)\).

\(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(d\)\( \Leftrightarrow AH \bot d \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} \bot \vec u\)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} \cdot \vec u = 0 \Leftrightarrow 6t - 4 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{2}{3}\).

\( \Rightarrow H\left( {\frac{5}{3}; - \frac{2}{3};\frac{4}{3}} \right)\).

d) Đúng. Đường thẳng \(d\) cắt mặt cầu tại \(2\) điểm phân biệt \(M,N\).

Tọa độ của \(M,N\) là nghiệm của hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - t\\z = 2t\\{x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25.\end{array} \right.\)

Giải hệ trên ta được \(\left\{ \begin{array}{l}t = - 1\\t = \frac{7}{3}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow M\left( {0\,;1\,; - 2} \right),N\left( {\frac{{10}}{3}; - \frac{7}{3}\,;\frac{{14}}{3}} \right)\). Khi đó \(MN = \frac{{10\sqrt 6 }}{3} \approx 8,16\).

Vậy đoạn đường nằm trong vùng phủ sóng là \(8,16\,{\rm{km}}\).