Một người thợ mộc có một khối gỗ hình hộp chữ nhật \(OABC.GDEF\) có kích thước \(OA = OG = 30\)(cm) và \(OC = 60\)(cm). Gắn hệ trục toạ độ \[Oxyz\] như hình vẽ dưới (1 đơn vị trên trục toạ độ tương ứng 10 cm). Người thợ có ý định khoan khối gỗ tại điểm \[M\] là trọng tâm của tam giác \[DGF\] và tiến hành khoan theo hướng của vectơ \(\overrightarrow {FA} \).

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Khi đó ta có tọa độ các điểm:

\(O\left( {0;0;0} \right),A\left( {3;0;0} \right)\), \(C\left( {0\,;6\,;0} \right),G\left( {0\,;0\,;3} \right),B\left( {3\,;6\,;0} \right),\)\(D\left( {3\,;0\,;3} \right),E\left( {3\,;6\,;3} \right),F\left( {0\,;6\,;3} \right)\).

a) Sai. Ta có \(\overrightarrow {FA} = \left( {3; - 6; - 3} \right).\)

b) Đúng. \(M\) là trọng tâm tam giác \(DGF\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{3 + 0 + 0}}{3} = 1\\{y_M} = \frac{{0 + 0 + 6}}{3} = 2\\{z_M} = \frac{{3 + 3 + 3}}{3} = 3\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {1;2;3} \right).\)

c) Đúng.

Mũi khoan nằm trên đường thẳng đi qua điểm \(M\left( {1;2;3} \right)\) nhận vectơ \(\overrightarrow {FA} = \left( {3; - 6; - 3} \right) = 3\left( {1; - 2; - 1} \right)\) làm vectơ chỉ phương.

Phương trình đường thẳng chứa mũi khoan là \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}.\)

d) Sai. Gọi \(N = d \cap \left( {Oxz} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right):y = 0\).

Phương trình tham số của đường thẳng chứa mũi khoan là \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - 2t\\z = 3 - t\end{array} \right..\)

Ta có \(y = 2 - 2t = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\z = 2\end{array} \right. \Rightarrow N\left( {2;0;2} \right)\).

Chiều dài tối thiểu của mũi khoan là: \(l \ge 10MN = 10\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \approx 24\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).