Cho hình dưới đây, biết \[NP\parallel KQ\parallel xy,\,\,\widehat {NPM} = 45^\circ ,\,\,\widehat {KQM} = 135^\circ \].

a) Sai.

Nhận thấy \(\widehat {xAB}\) và \(\widehat {CAB}\) chỉ là hai góc kề nhau do \(\widehat {xAB} + \widehat {CAB} \ne 180^\circ \). Do đó, ý a) sai.

b) Đúng.

Vì tia \(AC\) là tia phân giác của \(\widehat {yAB}\) nên ta có \(\widehat {yAB} = 2\widehat {BAC}\). Do đó, ý b) là đúng.

c) Sai.

Có \(\widehat {xAB}\) và \(\widehat {yAB}\) là hai góc kề là hai góc kề bù nên ta có \(\widehat {xAB} + \widehat {yAB} = 180^\circ \).

Do đó, \(\widehat {yAB} = 180^\circ  - \widehat {xAB} = 180^\circ  - 70^\circ  = 110^\circ \).

Mà tia \(AC\) là tia phân giác của \(\widehat {yAB}\) nên \(\widehat {yAC} = \widehat {CAB} = \frac{{\widehat {yAB}}}{2} = \frac{{110^\circ }}{2} = 55^\circ \).

Vậy ý c) sai.

d) Đúng.

Ta có: \(\widehat {yAC} = 55^\circ \); \(\widehat {ACB} = 55^\circ \) nên \(\widehat {ACB} = \widehat {yAC}\).

Mà hai góc ở vị trí so le trong nên \(xy\parallel BC\).

Do đó, ý d) đúng.

Đáp án: 75

Nhận thấy \(\widehat {xHI} = \widehat {HIK} = 70^\circ \) (giả thiết).

Mà hai góc ở vị trí so le trong nên \(HG\parallel IK\).

Vì \(HG\parallel IK\) nên \(\widehat G = \widehat {{K_3}} = 105^\circ \) (đồng vị)

Lại có, \(\widehat {{K_3}}\) và \(\widehat {{K_1}}\) là hai góc kề bù nên \(\widehat {{K_3}} + \widehat {{K_1}} = 180^\circ \) hay \(105^\circ  + \widehat {{K_1}} = 180^\circ \).

Do đó, \(\widehat {{K_1}} = 180^\circ  - 105^\circ  = 75^\circ \).