Cho \[S = \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^{2022}}}}\]. So sánh \[S\] với 1.
Câu hỏi trong đề: Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 6 Kết nối tri thức có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có: \[S = \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^{2022}}}}\].
Suy ra \[2S = 2\,\,.\,\,\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^{2022}}}}} \right)\]
\[ = \frac{2}{2} + \frac{2}{{{2^2}}} + \frac{2}{{{2^3}}} + ... + \frac{2}{{{2^{2022}}}}\]\[ = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{2021}}}}\].
Ta có \[S = \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^{2022}}}}\] và \[2S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{2021}}}}\].
Suy ra \(2S - S = \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{2021}}}}} \right) - \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^{2022}}}}} \right)\) .
Hay \(S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{2021}}}} - \frac{1}{2} - \frac{1}{{{2^2}}} - \frac{1}{{{2^3}}} - ... - \frac{1}{{{2^{2022}}}}\)
\( = 1 + \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} \right) + \left( {\frac{1}{{{2^2}}} - \frac{1}{{{2^2}}}} \right) + \left( {\frac{1}{{{2^3}}} - \frac{1}{{{2^3}}}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{{2^{2021}}}} - \frac{1}{{{2^{2021}}}}} \right) - \frac{1}{{{2^{2022}}}}\)
\( = 1 - \frac{1}{{{2^{2022}}}} = \frac{{{2^{2022}} - 1}}{{{2^{2022}}}}\).
Mà \[{2^{2022}}--1 < {2^{2022}}\] nên \[\frac{{{2^{2022}} - 1}}{{{2^{2022}}}} < 1\];
Vậy \[S = \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^{2022}}}} < 1\].
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Trên tia \[Ox\], ta có \[OA < OB\] (vì 2 cm < 4 cm).
Do đó, điểm \[A\] nằm giữa hai điểm \[O\] và \[B\].
b) Vì điểm \[A\] nằm giữa hai điểm \[O\] và \[B\] nên:
\[OA + AB = OB\]
\[3 + AB = 6\]
Suy ra: \[AB = 6--3 = 3\] (cm).
Mà \[OA = 3\] cm.
Vậy \[OA = AB\].
* Điểm \[A\] là trung điểm của đoạn thẳng \[OB\] vì:
• Điểm \[A\] nằm giữa hai điểm \[O\] và \[B\] (chứng minh câu a)
• \[OA = AB\] (chứng minh câu b)
Vậy điểm \[A\] là trung điểm của đoạn thẳng \[OB\].
c) Vì điểm \[C\] là trung điểm của đoạn thẳng \[AB\] nên:
\(AC = BC = \frac{{AB}}{2} = \frac{3}{2} = 1,5\,\,(cm)\)
Điểm \[C\] nằm giữa hai điểm \[O\] và \[B\] vì:
• Ba điểm \[O,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C\] cùng nằm trên một đường thẳng (cùng thuộc tia \[Ox\])
• \[BC < OB\] (1,5 cm < 6 cm)
Vì điểm \[C\] nằm giữa hai điểm \[O\] và \[B\] nên:
\[OC + BC = OB\] hay \[OC + 1,5 = 6\]
Suy ra: \[OC = 6--1,5 = 4,5\] (cm).
Vậy \[OC = 4,5\] cm.
Lời giải
a) Số trang sách bạn An đọc được trong ngày thứ nhất là:
\[120\,\,.\,\,\frac{2}{5} = 48\] (trang)
Vậy ngày thứ nhất bạn An đọc được 48 trang sách.
b) Sau ngày thứ nhất, số trang sách còn lại là:
\[120 - 48 = 72\] (trang);
Số trang sách ngày thứ hai bạn An đọc được là:
\[72\,\,.\,\,\frac{2}{3} = 48\] (trang);
Số trang sách bạn An đọc trong ngày thứ ba là:
\[72--48 = 24\] (trang).
Vậy trong ngày thứ ba bạn An đọc được 24 trang.
Câu 3
A. \(\frac{{ - 4}}{5}\);
B. \(\frac{4}{5}\);
C. \(\frac{{16}}{{20}}\);
D. \(\frac{{16}}{{ - 20}}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. Điểm \[N\] nằm giữa hai điểm \[M\] và \[P\];
B. Hai điểm \[M\] và \[P\] nằm cùng phía đối với điểm \[N\];
C. Hai điểm \[N\] và P nằm khác phía đối với điểm \[M\];
D. Điểm \[M\] nằm giữa hai điểm \[N\] và \[P\].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \(\frac{1}{4}\);
B. \(\frac{2}{3}\);
C. \(\frac{5}{8}\);
D. \(\frac{1}{2}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập