Cho hình chữ nhật \[ABCD\] có\[AB = 1\left( {cm} \right),AD = 2\left( {cm} \right)\]. Gọi \[M,N\] lần lượt là trung điểm của \[AD\] và\[BC\]. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục \[MN\] ta được một hình trụ như hình vẽ.

a) Tính diện tích toàn phần \({S_{tp}}\) của hình trụ đó.

b) Tính thể tích hình trụ đó.

Ta có: \({S_{tp}} = 2{S_{xq}}\)

\(\begin{array}{l}2\pi r\left( {h + r} \right) = 2.2\pi rh\\2\pi .5\left( {h + 5} \right) = 2.2\pi .5h\\5\left( {h + 5} \right) = 10h\\h = 5\left( {dm} \right)\end{array}\)

· Với \[r = 3,h = 7\]

\[{S_{xq}} = 2\pi rh = 42\pi \left( {c{m^2}} \right)\]

\[{S_{tp}} = 2\pi r\left( {h + r} \right) = 60\pi \left( {c{m^2}} \right)\]

\[V = \pi {r^2}h = 63\pi \left( {c{m^3}} \right)\]

· Với \[r = 3,{S_{xq}} = 20\pi \left( {c{m^2}} \right)\]

\[{S_{xq}} = 2\pi rh \Rightarrow h = \frac{{{S_{xq}}}}{{2\pi r}} = 2,5\left( {cm} \right)\]

\[{S_{tp}} = 2\pi r\left( {h + r} \right) = 52\pi \left( {c{m^2}} \right)\]

\[V = \pi {r^2}h = 40\pi \left( {c{m^3}} \right)\]

· Với \[h = 8,{S_{xq}} = 18\pi \left( {c{m^2}} \right)\]

\[\begin{array}{l}{S_{tp}} = 2\pi r\left( {h + r} \right)\\18\pi  = 2\pi r\left( {h + r} \right)\\{r^2} + 8r - 9 = 0\\ \Rightarrow r = 1\end{array}\]

\[{S_{xq}} = 2\pi rh = 16\pi \left( {c{m^2}} \right)\]

\[V = \pi {r^2}h = 8\pi \left( {c{m^3}} \right)\]

· Với \[h = 5,V = 150\pi \]

\[V = \pi {r^2}h \Rightarrow h = \frac{V}{{\pi {r^2}}} = \frac{{150\pi }}{{25\pi }} = 6\left( {cm} \right)\]

\[{S_{xq}} = 2\pi rh = 60\pi \left( {c{m^2}} \right)\]

\[{S_{tp}} = 2\pi r\left( {h + r} \right) = 110\pi \left( {c{m^2}} \right)\]