Cho tam giác \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{G^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{O{G^2}}} = \frac{1}{{O{H^2}}} - \frac{1}{{S{O^2}}} \Rightarrow OG = 2a\sqrt 3 \) vuông tại \(SO.OG = OH.SG \Rightarrow SG = \frac{{SO.OG}}{{SG}} = \frac{{6a.2a\sqrt 3 }}{{3a}} = 4a\sqrt 3 \), \( \Rightarrow DE = 8a\sqrt 3 \) và \(OD = \sqrt {O{G^2} + D{G^2}}  = \sqrt {12{a^2} + 48{a^2}}  = 2\sqrt {15} a\). Tính thể tích \(V = \frac{1}{3} \cdot \pi  \cdot {\left( {2\sqrt {15} a} \right)^2} \cdot 6a = 120\pi {a^3}\) của hình nón nhận được khi quay tam giác \(\left( \alpha  \right)\) quanh cạnh \({V_1}\).

Quay tam giác \[AA'C\] một vòng quanh trục \(AA'\) tạo thành hình nón có chiều cao \(AA' = a\), bán kính đáy \[r = AC = a\sqrt 2 \], đường sinh \(l = A'C = \sqrt {AA{'^2} + A{C^2}}  = a\sqrt 3 \).

Diện tích toàn phần của hình nón: \(S = \pi r\left( {r + l} \right) = \pi a\sqrt 2 \left( {a\sqrt 2  + a\sqrt 3 } \right) = \pi \left( {\sqrt 6  + 2} \right){a^2}\).

Ta có công thức tính thể tích hình nón có chiều cao \(h\) và bán kính \(r\) là \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\)

+ Khi quay tam giác \(ABC\) quanh cạnh \(AB\) thì:

\(h = AB = 6cm\) và \(r = AC = 8cm\) thì \({V_1} = \frac{1}{3}\pi {.8^2}.6 = 128\pi \)

+ Khi quay tam giác \(ABC\) quanh cạnh \(AC\) thì:

\(h = AC = 8cm\) và \(r = AB = 6cm\) thì \({V_2} = \frac{1}{3}\pi {.6^2}.8 = 96\pi \)

Vậy: \[\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{4}{3}\]