Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), \(AB = 6cm,\,AC = 8cm\). Gọi \({V_1}\) là thể tích hình nón tạo thành khi quay tam giác \(ABC\) quanh cạnh \(AB\) và \({V_2}\) là thể tích hình nón tạo thành khi quay tam giác \(ABC\) quanh cạnh \(AC\). Tính tỷ số \[\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\].

Cho tam giác \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{G^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{O{G^2}}} = \frac{1}{{O{H^2}}} - \frac{1}{{S{O^2}}} \Rightarrow OG = 2a\sqrt 3 \) vuông tại \(SO.OG = OH.SG \Rightarrow SG = \frac{{SO.OG}}{{SG}} = \frac{{6a.2a\sqrt 3 }}{{3a}} = 4a\sqrt 3 \), \( \Rightarrow DE = 8a\sqrt 3 \) và \(OD = \sqrt {O{G^2} + D{G^2}}  = \sqrt {12{a^2} + 48{a^2}}  = 2\sqrt {15} a\). Tính thể tích \(V = \frac{1}{3} \cdot \pi  \cdot {\left( {2\sqrt {15} a} \right)^2} \cdot 6a = 120\pi {a^3}\) của hình nón nhận được khi quay tam giác \(\left( \alpha  \right)\) quanh cạnh \({V_1}\).

Cho tam giác vuông \[H\] tại\(ABC\),\(A\) và\(\widehat {BAC} = 60^\circ \). Khi quay tam giác \[R = HC = 2\] xung quanh trục \(\Delta AHC\), ta thu được hình nón.

a) Tính độ dài đường sinh \(\widehat {HAC} = 30^\circ \) của hình nón

b) Tính thể tích hình nón.