Trên bàn có một cốc nước hình trụ chứa đầy nước có chiều cao bằng $3$lần đường kính của đáy; một viên bi và một hình nón đều bằng thủy tinh. Biết viên bi là một khối cầu có đường kính bằng của cốc nước. Người ta từ từ thả vào cốc nước viên bi và khối nón đó ( như hình vẽ) thì thấy nước trong cốc tràn ra ngoài. Tính tỉ số thể tích của lượng nước còn lại trong cốc và lượng nước ban đầu( bỏ qua bề dày của lớp vỏ thủy tinh)

$Trên bàn có một cốc nước hình trụ chứa đầy nước có chiều cao bằng $3$lần đường kính của đáy; một viên bi và một hình nón đều bằng thủy tinh. Biết viên bi là một khối cầu có đường kính bằng của cốc nước. (ảnh 1)$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 19 bài tập Toán 9 Kết nối tri thức Bài 32. Hình cầu có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Gọi $R,h$ lần lượt là bán kính đáy và là chiều cao của hình trụ

$h = 6R$

Thể tích của hình trụ ${V_T} = \pi 6{R^3}.$

Khối cầu bên trong hình trụ có bán kính $R$ nên hình cầu có thể tích ${V_C} = \frac{4}{3}\pi {R^3}.$

Khối nón bên trong hình trụ có bán kính$R$ và chiều cao $h = 4R$ nên hình nón có thể tích ${V_N} = \frac{4}{3}\pi {R^3}$

Thể tích lượng nước còn lại bên trong hình trụ

$V = {V_T} - \left( {{V_C} + {V_N}} \right) = 6\pi {R^3} - \frac{8}{3}\pi {R^3} = \frac{{10}}{3}\pi {R^3}.$

Vậy $\frac{V}{{{V_T}}} = \frac{5}{9}.$

Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Thả một quả cầu đặc có bán kính 3 $\left( {{\rm{cm}}} \right)$ vào một vật hình nón (có đáy nón không kín) (như hình vẽ bên dưới). Cho biết khoảng cách từ tâm quả cầu đến đỉnh nón là 5 $\left( {{\rm{cm}}} \right)$. Tính thể tích (theo đơn vị cm³) phần không gian kín giới hạn bởi bề mặt quả cầu và bề mặt trong của vật hình nón.

Xem đáp án

Lời giải

Xét hình nón và quả cầu như hình vẽ bên dưới.

Thả một quả cầu đặc có bán k (ảnh 2)

$OI = \frac{{I{K^2}}}{{SI}} = \frac{{{3^2}}}{5} = \frac{9}{5}\,\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right).$

Thể tích chỏm cầu tâm I có bán kính OK là: ${V_2} = \pi .{\left( {IK - OI} \right)^2}.\left( {IK - \frac{{IK - OI}}{3}} \right) = \pi .{\left( {3 - \frac{9}{5}} \right)^2}.\left( {3 - \frac{{3 - {\textstyle{9 \over 5}}}}{3}} \right) = \frac{{468\pi }}{{125}}\,\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right).$

Thể tích hình nón có đỉnh S, đáy hình tròn tâm O, bán kính đáy OK là:

${V_1} = \frac{1}{3}.SO.{S_{(O;OK)}}$$\frac{1}{3}.\frac{{16}}{5}.\pi {\left( {\frac{{12}}{5}} \right)^2} = \frac{{768\pi }}{{125}}{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right).$

Thể tích phần không gian kín giới hạn bởi bề mặt quả cầu và bề mặt trong của vật hình nón là: ${V_1} - {V_2} = \frac{{768\pi }}{{125}} - \frac{{468\pi }}{{125}} = \frac{{12\pi }}{5}\,\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right).$

Câu 2

Người ta thả một viên bi có dạng hình cầu có bán kính \[2,7\,cm\] vào một chiếc cốc hình trụ đang chứa nước (tham khảo hình vẽ dưới). Biết rằng bán kính của phần trong đáy cốc bằng \[5,4\,cm\] và chiều cao của mực nước ban đầu trong cốc bằng \[4,5\,cm\]. Khi đó chiều cao của mực nước trong cốc là bao nhiêu?

$Người ta thả một viên bi có dạng hình cầu có bán kính \[2,7\,cm\] vào một chiếc cốc hình trụ đang chứa nước (tham khảo hình vẽ dưới). Biết rằng bán kính của phần trong đáy cốc bằng \[5,4\,cm\] và chiều cao của mực nước ban đầu trong cốc bằng \[4,5\,cm\]. (ảnh 1)$

Xem đáp án

Lời giải

$Người ta thả một viên bi có dạng hình cầu có bán kính \[2,7\,cm\] vào một chiếc cốc hình trụ đang chứa nước (tham khảo hình vẽ dưới). Biết rằng bán kính của phần trong đáy cốc bằng \[5,4\,cm\] và chiều cao của mực nước ban đầu trong cốc bằng \[4,5\,cm\]. (ảnh 2)$

Gọi \[R = 2,7\,cm\] là bán kính của viên bi. Ta có bán kính phần trong đáy cốc là \[2R\].

Thể tích nước ban đầu là: \[{V_1} = \pi {\left( {2R} \right)^2}.4,5 = 18\pi {R^2}\].

Thể tích viên bi là: \[{V_2} = \frac{4}{3}\pi {R^3}\].

Thể tích nước sau khi thả viên bi là: \[V = {V_1} + {V_2} = 18\pi {R^2} + \frac{4}{3}\pi {R^3} = 2\pi {R^2}\left( {9 + \frac{2}{3}R} \right)\].

Gọi \[h\] là chiều cao mực nước sau khi thả viên bi vào.

Ta có: \[V = 2\pi {R^2}\left( {9 + \frac{2}{3}R} \right) = \pi {\left( {2R} \right)^2}.h \Rightarrow h = \frac{{2\pi {R^2}\left( {9 + \frac{2}{3}R} \right)}}{{\pi {{\left( {2R} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {9 + \frac{2}{3}R} \right)}}{2} = 5.4\,\left( {cm} \right)\].

Câu 3