Cho ngũ giác \(ABCDE\) có các cạnh bằng nhau và $\widehat{\text{A}}=\widehat{\text{B}}=\widehat{\text{C}}=$ ${108}^{°}$ Ngũ giác \[ABCDE\] có phải là ngũ giác đều không?

Hướng dẫn: Để chứng minh ngũ giác \(ABCDE\) đều ta phải chứng minh:

* Các cạnh bằng nhau (giả thiết đã cho).

* Các góc bằng nhau: $\widehat{\text{D}}=\widehat{\text{E}}={108}^{°}$

Đa giác ở hình \(b\) không phải là đa giác lồi vì không cùng nằm về một phía so với đường thẳng \(AD\)hoặc \(BC\).

Ở hình d cũng không phải là đa giác lồi vì không cùng nằm về một phía so với đường thẳng \(BC\) hoặc \(DC\).

Ta có $sd\stackrel{⏜}{AB}=sd\stackrel{⏜}{BC}=sd\stackrel{⏜}{CD}=sd\stackrel{⏜}{DE}=sd\stackrel{⏜}{EF}=sd\stackrel{⏜}{FA}=\frac{{360}^{°}}{6}={60}^{°}$.

Xét tam giác \(AOB\) cân tại \(O\) có $\widehat{\text{AOB}}={60}^{°}$ (vì $sd\stackrel{⏜}{AB}={60}^{°}$)

 đều nên \(AB = R\) và \(\widehat {ABO} = {60^^\circ }\) (1)

Tương tự với tam giác BOC đều $\Rightarrow \widehat{\text{OBC}}={60}^{°}$ và \({\rm{BC}} = {\rm{R}}\) (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \widehat{\text{ABC}}=\widehat{\text{ABO}}+\widehat{\text{OBC}}={60}^{°}+{60}^{°}={120}^{°}$ và \(AB = BC = R\).

Chứng minh tương tự với các cạnh và các góc còn lại ta có đa giác \(ABCD\) có:

\(AB = BC = CD = DE = EF = FA = R.\)

Và các góc \(\widehat {{\rm{ABC}}} = \widehat {{\rm{BCD}}} = \widehat {{\rm{CDE}}} = \widehat {{\rm{DEF}}} = \widehat {{\rm{EFA}}} = \widehat {{\rm{FAB}}} = 120^\circ \). Do đó \[ABCDEF\] là một đa giác đều.