Cho vòng quay mặt trời gồm mười hai cabin như vẽ bên dưới. Hỏi để cabin \(A\) di chuyển đến vị trí cao nhất thì vòng quay phải quay thuận chiều kim đồng hồ quanh tâm bao nhiêu độ?

Đa giác đều 12 cạnh \[ABCDEFGHIKLM\] nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) (Xem hình vẽ).

Ta có: $\widehat{AOB}=\frac{{360}^{°}}{12}={30}^{°}$ và $\widehat{AOB}=\widehat{BOC}=\widehat{COD}=\widehat{DOE}=\dots ={30}^{°}$

Và \(OA = OB = OC = OD = \ldots \) (bán kính đường tròn ngoại tiếp)

Ta chọn phép quay thuận chiều (hoặc ngược chiều) góc quay ${30}^{°},{60}^{°},{90}^{°},{120}^{°}$ biến đa giác đã cho thành chính nó.

Phép quay ngược chiều 60^o tâm O biến A thành D. Ta có: \(OD = OA\) và $\widehat{\text{AOD}}={60}^{°}$ nên tam giác \(AOD\) là tam giác đều \[ \Rightarrow AD = OA = OD = R\] (R là bán kính đường tròn \(\left( O \right)\)).

Chứng minh tương tự, ta có: \(BE = CF = R\)\( \Rightarrow AD = BE = CF = R(*)\)

Tam giác \(ABC\) đều nội tiếp đường tròn \(\left( {\rm{O}} \right)\), ta có: \({\rm{OD}} = {\rm{OA}} = {\rm{OB}}\) (1)

Lại có $\widehat{\text{AOB}}={120}^{°}$ mà $\widehat{\text{AOD}}={60}^{°}$ (cmt) $\Rightarrow \widehat{\text{DOB}}={60}^{°}\left(2\right)$

Từ (1) và (2) suy ra tam giác \(DOB\) là tam giác đều.

Chứng minh tương tự các tam giác \(EOC\) và \(FOA\) cũng là tam giác đều.\( \Rightarrow DB = EC = EA = R\left( {**} \right)\)

Từ (*) và (**)\( \Rightarrow AD = DB = BE = EC = CE = EA\left( { = R} \right)\left( 3 \right)\)

Dễ thấy \(\widehat {{\rm{ADB}}} = \widehat {{\rm{DBE}}} = \widehat {{\rm{BEC}}} = \widehat {{\rm{ECF}}} = \widehat {{\rm{CFA}}} = \widehat {{\rm{FAD}}}\) (4)

Từ (3) và \((4) \Rightarrow ADBECF\) là một lục giác đều.