Cho \[A = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{{{{2012}^2}}} + \frac{1}{{{{2013}^2}}}\]. Chứng tỏ \[A < 1\].
Câu hỏi trong đề: Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 6 Cánh diều có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có \[A = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{{{{2012}^2}}} + \frac{1}{{{{2013}^2}}}\].
Đặt \(B = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ....... + \,\frac{1}{{2012.2013}}\).
Ta có vì \[2 > 1\] nên \[2\,\,.\,\,2 > 1\,\,.\,\,2\].
Suy ra \(\frac{1}{{{2^2}}} = \frac{1}{{2.2}} < \frac{1}{{1.2}}\);
Tương tự:
\(\frac{1}{{{3^2}}} = \frac{1}{{3.3}} < \frac{1}{{2.3}}\);
….
\(\frac{1}{{{{2012}^2}}} = \frac{1}{{2012.2012}} < \frac{1}{{2011.2012}}\);
\(\frac{1}{{{{2013}^2}}} = \frac{1}{{2013.2013}} < \frac{1}{{2012.2013}}\).
Do đó \(\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{{{{2012}^2}}} + \frac{1}{{{{2013}^2}}} < \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ....... + \frac{1}{{2011.2012}} + \,\frac{1}{{2012.2013}}\).
Suy ra \[A < \;B\].
Mà \(B = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ....... + \,\frac{1}{{2012.2013}}\)
\( = \frac{{2 - 1}}{{1.2}} + \frac{{3 - 2}}{{2.3}} + ... + \frac{{2012 - 2011}}{{2011.2012}} + \frac{{2013 - 2012}}{{2012.2013}}\)
\( = \frac{2}{{1.2}} - \frac{1}{{1.2}} + \frac{3}{{2.3}} - \frac{2}{{2.3}} + ... + \frac{{2012}}{{2011.2012}} - \frac{{2011}}{{2011.2012}} + \frac{{2013}}{{2012.2013}} - \frac{{2012}}{{2012.2013}}\)
\[ = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{2012}} - \frac{1}{{2013}}\]\( = 1 - \frac{1}{{2013}} < 1\).
Do đó \[B < 1\] nên \[A < B < 1\].
Vậy \[A < 1\].
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
1.
a) \(\frac{2}{3} + \left( {\frac{5}{7} + \frac{{ - 2}}{3}} \right)\)\( = \frac{2}{3} + \frac{5}{7} + \frac{{ - 2}}{3}\)
\[ = \left( {\frac{2}{3} + \frac{{ - 2}}{3}} \right) + \frac{5}{7}\]\( = 0 + \frac{5}{7} = \frac{5}{7}\);
b) \(\frac{5}{{17}}.\frac{{ - 7}}{3} + \frac{8}{{17}}.\frac{{ - 7}}{3} + \frac{{ - 7}}{3}.\frac{4}{{17}}\)
\[ = \frac{{ - 7}}{3}.\left( {\frac{5}{{17}} + \frac{8}{{17}} + \frac{4}{{17}}} \right)\]
\[ = \frac{{ - 7}}{3}.1 = - \frac{7}{3}\].
2.
|
a) \(\frac{x}{{14}} = \frac{{ - 81}}{{21}}\) \(x \cdot 21 = - 81 \cdot 14\) \(x \cdot 21 = - 1134\) \(x = - 1134:21\) \(x = - 54\) Vậy \(x = - 54\).
|
b) \[\frac{1}{2}{x^2} - 4\frac{1}{2} = 0\] \[\frac{1}{2}{x^2} = \frac{9}{2}\] \[{x^2} = \frac{9}{2}:\frac{1}{2}\] \({x^2} = \frac{9}{2}.\frac{2}{1}\) \({x^2} = 9\) Suy ra \[x = 3\] hoặc \[x = - 3\] Vậy \(x \in \left\{ {3; - 3} \right\}\).
|
Lời giải
a) Dựa vào bảng thống kê, tổng số học sinh khối 6 đi muộn trong tuần qua là:
\[\;3 + 4 + 2 + 6 = 15\] (học sinh);
• Cách vẽ biểu đồ như sau:
Vẽ được trục ngang biểu diễn các lớp khối 6 và trục đứng biểu diễn số lượng học sinh đi học muộn trong tuần.
Với mỗi lớp ở trục ngang, vẽ được hình chữ nhật có chiều cao bằng số học sinh đi học muộn tương ứng với dữ liệu trên bảng (độ rộng của các cột bằng nhau).
b) Số học sinh đi học muộn của lớp 6A trong tuần qua là 3 học sinh.
Tỉ số % số học sinh đi học muộn lớp 6A so với số học sinh đi học muộn của cả khối 6 là: \(\frac{3}{{15}}\,\,.\,\,100\% = \frac{1}{5}\,\,.\,\,100\% = 20\% \).
Vậy số học sinh đi học muộn lớp 6A chiếm \[20\% \] so với số học sinh đi muộn của cả khối 6 trong tuần.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. Rắn, gà, chó, trâu, bò;
B. Chó, mèo, gà, vịt;
C. Gà, vịt, ngan, ngỗng;
D. Lợn, gà, vịt, chó.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. Lớp 6C;
B. Lớp 6B;
C. Lớp 6D;
D. Lớp 6E.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. \(\frac{3}{0}\);
B. \(\frac{{ - 4}}{5}\);
C. \(\frac{{1,5}}{2}\);
D. \(\frac{{ - 7}}{{1,2}}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập