Cho \[A = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{{{{2012}^2}}} + \frac{1}{{{{2013}^2}}}\]. Chứng tỏ \[A < 1\].
Câu hỏi trong đề: Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 6 Cánh diều có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có \[A = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{{{{2012}^2}}} + \frac{1}{{{{2013}^2}}}\].
Đặt \(B = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ....... + \,\frac{1}{{2012.2013}}\).
Ta có vì \[2 > 1\] nên \[2\,\,.\,\,2 > 1\,\,.\,\,2\].
Suy ra \(\frac{1}{{{2^2}}} = \frac{1}{{2.2}} < \frac{1}{{1.2}}\);
Tương tự:
\(\frac{1}{{{3^2}}} = \frac{1}{{3.3}} < \frac{1}{{2.3}}\);
….
\(\frac{1}{{{{2012}^2}}} = \frac{1}{{2012.2012}} < \frac{1}{{2011.2012}}\);
\(\frac{1}{{{{2013}^2}}} = \frac{1}{{2013.2013}} < \frac{1}{{2012.2013}}\).
Do đó \(\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{{{{2012}^2}}} + \frac{1}{{{{2013}^2}}} < \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ....... + \frac{1}{{2011.2012}} + \,\frac{1}{{2012.2013}}\).
Suy ra \[A < \;B\].
Mà \(B = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ....... + \,\frac{1}{{2012.2013}}\)
\( = \frac{{2 - 1}}{{1.2}} + \frac{{3 - 2}}{{2.3}} + ... + \frac{{2012 - 2011}}{{2011.2012}} + \frac{{2013 - 2012}}{{2012.2013}}\)
\( = \frac{2}{{1.2}} - \frac{1}{{1.2}} + \frac{3}{{2.3}} - \frac{2}{{2.3}} + ... + \frac{{2012}}{{2011.2012}} - \frac{{2011}}{{2011.2012}} + \frac{{2013}}{{2012.2013}} - \frac{{2012}}{{2012.2013}}\)
\[ = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{2012}} - \frac{1}{{2013}}\]\( = 1 - \frac{1}{{2013}} < 1\).
Do đó \[B < 1\] nên \[A < B < 1\].
Vậy \[A < 1\].
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Số học sinh thích học môn toán là:
\[40\,.{\rm{ }}60\% = 24\] (học sinh);
Số học sinh thấy việc học môn toán cũng bình thường là:
\(24\,\,.\,\,\frac{1}{2} = 12\) (học sinh)
Số học sinh không thích và sợ học toán là:
\[40--24--12 = 14\] (học sinh).
b) Tỉ số phần trăm giữa số học sinh không thích và sợ học toán so với tổng số học sinh được khảo sát là:
\(\frac{{14}}{{40}}\,\,.\,\,100 = 56\% \).
Vậy tỉ số phần trăm giữa số học sinh không thích và sợ học toán so với tổng số học sinh được khảo sát là 56%.
Câu 2
A. \(\frac{3}{0}\);
B. \(\frac{{ - 4}}{5}\);
C. \(\frac{{1,5}}{2}\);
D. \(\frac{{ - 7}}{{1,2}}\).
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Phân số có dạng \(\frac{a}{b}\) với \[a,\,\,b \in \mathbb{Z};\,\,b \ne 0\].
Do đó, cách viết \(\frac{{ - \,4}}{5}\) là cách viết phân số.
Câu 3
A. Lớp 6C;
B. Lớp 6B;
C. Lớp 6D;
D. Lớp 6E.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập