Một xưởng mộc dùng gỗ sồi để sản xuất 5 chiếc bàn mỗi ngày. Chi phí cho mỗi lần vận chuyển nguyên liệu là \(5625\) USD, chi phí để lưu trữ một đơn vị nguyên liệu là \(10\) USD mỗi ngày, trong đó một đơn vị là lượng nguyên liệu cần thiết để sản xuất một chiếc bàn, và lưu ý rằng trong mỗi ngày của chu kì sản xuất (thời gian giữa hai lần nhập nguyên liệu liên tiếp) thì lượng nguyên liệu lưu trữ trung bình mỗi ngày được tính bằng một nửa tổng lượng nguyên liệu tồn kho đầu kì và lượng nguyên liệu tồn kho cuối kì. Giả sử nguyên liệu được nhập về sau mỗi \(x\) ngày.

Đáp án: \(163\).

Gọi \(O\) là trọng tâm của tứ diện đều \(ABCD\).

Theo giả thiết, ta có \(OA \bot \left( {BCD} \right)\) nên \(OA{\rm{//}}\overrightarrow {{A_1}{B_1}} \)\( \Rightarrow \overrightarrow {{A_1}{B_1}} = {k_1}\overrightarrow {OA} \).

Tương tư: \(\overrightarrow {{B_1}{C_1}} = {k_2}\overrightarrow {OB} \), \(\overrightarrow {{C_1}{D_1}} = {k_3}\overrightarrow {OC} \) và \(\overrightarrow {{D_1}{A_1}} = {k_4}\overrightarrow {OD} \).

Ta có \(\overrightarrow {{A_1}{B_1}} + \overrightarrow {{B_1}{C_1}} + \overrightarrow {{C_1}{D_1}} + \overrightarrow {{D_1}{A_1}} = \overrightarrow 0 \)\[ \Leftrightarrow {k_1}\overrightarrow {OA} + {k_2}\overrightarrow {OB} + {k_3}\overrightarrow {OC} + {k_4}\overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \].

Vì \(O\) là trọng tâm của tứ diện \(ABCD\) nên suy ra \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \)

Hay \({k_1}\overrightarrow {OA} + {k_1}\overrightarrow {OB} + {k_1}\overrightarrow {OC} + {k_1}\overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \)

\( \Rightarrow \left( {{k_1} - {k_2}} \right)\overrightarrow {OB} + \left( {{k_1} - {k_3}} \right)\overrightarrow {OC} + \left( {{k_1} - {k_4}} \right)\overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \). \(\left( * \right)\)

Do các vecto \(\overrightarrow {OB} \), \(\overrightarrow {OC} \) và \(\overrightarrow {OD} \) không đồng phẳng nên \(\left( * \right) \Leftrightarrow {k_1} = {k_2} = {k_3} = {k_4} = k\).

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) sao cho \(A\left( {1;1;1} \right)\), \(B\left( {1; - 1; - 1} \right)\), \(C\left( { - 1;1; - 1} \right)\) và \(D\left( { - 1; - 1;1} \right)\).

Khi đó: \[AB = BC = CD = DA = AC = BD = 2\sqrt 2 \].

Vì tứ diện \(ABCD\) có cạnh bằng \(1\) nên \(1\) đơn vị trên trên trục bằng \(2\sqrt 2 \)đơn vị độ dài.

Ta có :

\(\left( {BCD} \right)\) : \(x + y + z + 1 = 0\)

\(\left( {CDA} \right):x - y - z + 1 = 0\).

\(\left( {DAB} \right): - x + y - z + 1 = 0\).

\(\left( {ABC} \right): - x - y + z + 1 = 0\).

Gọi \({A_1}\left( {x;y;z} \right)\)

Vì \(\overrightarrow {{A_1}{B_1}} = k\overrightarrow {OA} \)\[ \Rightarrow {B_1}\left( {x + k;y + k;z + k} \right)\].

Tương tụ \({C_1}\left( {x + 2k;y;z} \right)\) và \({D_1}\left( {x + k;y + k;z - k} \right)\).

Ta có hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + z + 1 = 0}\\{x + k - \left( {y + k} \right) - \left( {z + k} \right) + 1 = 0}\end{array}}\\{ - \left( {x + 2k} \right) + y - k + 1 = 0}\end{array}}\\{ - \left( {x + k} \right) - \left( {y + k} \right) + z - k + 1 = 0}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x = - \frac{2}{3}}\\{y = - \frac{1}{3}}\end{array}}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{z = 0}\\{k = \frac{2}{3}}\end{array}}\end{array}} \right.\).

Vậy \(\overrightarrow {{A_1}{B_1}} = \left( {\frac{2}{3};\frac{2}{3};\frac{2}{3}} \right)\), \(\overrightarrow {{B_1}{C_1}} = \left( {\frac{2}{3}; - \frac{2}{3}; - \frac{2}{3}} \right)\) và \(\overrightarrow {{C_1}{D_1}} = \left( { - \frac{2}{3};\frac{2}{3}; - \frac{2}{3}} \right)\).

Suy ra \(V = \frac{1}{6}\left| {\overrightarrow {{A_1}{B_1}} \cdot \left[ {\overrightarrow {{B_1}{C_1}} ,\overrightarrow {{C_1}{D_1}} } \right]} \right| = \frac{{16}}{{81}}\) (đơn vị thể tích trên trục)

Do đó \(V = \frac{{16}}{{81}} \cdot {\left( {\frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)^3} = \frac{{\sqrt 2 }}{{162}}\) (đơn vị thể tích)

Vậy \(a + b = 163\)