Bạn An đang làm đề ôn tập theo ba mức độ dễ, trung bình và khó. Xác suất để An hoàn thành câu dễ là \(0,8\); hoàn thành câu trung bình là \(0,6\) và hoàn thành câu khó là \(0,15\). Làm đúng mỗi một câu dễ An được \(0,1\) điểm, làm đúng mỗi một câu trung bình An được \(0,25\) điểm và làm đúng mỗi một câu khó An được \(0,5\) điểm.

 

Đáp án: 2550.

Giả sử ba tấm thẻ lấy ra có số ghi là \(a,b,c\) theo thứ tự tăng dần (\(a < b < c\)).

Để ba số này lập thành một cấp số cộng, ta phải có tính chất: \(a + c = 2b\)

Điều này có nghĩa là tổng của số đầu \(a\) và số cuối \(c\) phải là một số chẵn (vì \(2b\) luôn chẵn).

Để tổng \((a + c)\) là số chẵn, thì \(a\) và \(c\) phải cùng tính chẵn lẻ (tức là cùng là số chẵn hoặc cùng là số lẻ).

Nhận xét quan trọng: Khi bạn chọn được 2 số đầu và cuối (\(a\) và \(c\)) có cùng tính chẵn lẻ, thì số ở giữa (\(b = \frac{{a + c}}{2}\)) sẽ là duy nhất và chắc chắn là số nguyên nằm giữa \(a\) và \(c\).

\( \Rightarrow \) Bài toán quy về việc: Chọn ngẫu nhiên 2 tấm thẻ từ tập hợp sao cho 2 tấm đó cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

Tập hợp \(S = \{ 1,2,3,...,102\} \) có 102 phần tử.

Số lượng số lẻ là: \(\{ 1,3,5,...,101\} \). Số lượng = \(\frac{{101 - 1}}{2} + 1 = 51\) số.

Số lượng số chẵn là: \(\{ 2,4,6,...,102\} \). Số lượng = \(\frac{{102 - 2}}{2} + 1 = 51\) số.

Để có 3 số lập thành cấp số cộng, ta cần chọn 2 số đầu cuối \(a,c\) từ cùng một nhóm (chẵn hoặc lẻ):

+ Trường hợp 1: Chọn 2 số đều là số lẻ.

Số cách chọn 2 số từ 51 số lẻ là tổ hợp chập 2 của 51: \(C_{51}^2 = \frac{{51.50}}{2} = 1275{\rm{ (c\'a ch)}}\).

(Ví dụ: Chọn 1 và 5 thì số ở giữa chắc chắn là 3. Bộ là 1, 3, 5)

+ Trường hợp 2: Chọn 2 số đều là số chẵn.

Số cách chọn 2 số từ 51 số chẵn là tổ hợp chập 2 của 51: \(C_{51}^2 = \frac{{51.50}}{2} = 1275{\rm{ (c\'a ch)}}\).

(Ví dụ: Chọn 2 và 10 thì số ở giữa chắc chắn là 6. Bộ là 2, 6, 10)

Bước 3: Tổng hợp kết quả.

Tổng số cách lấy được ba tấm thẻ lập thành cấp số cộng là:

1275 + 1275 = 2550 cách

Đáp án: 0,45.

Xét các biến cố \(A\): “lấy được viên bi đỏ của hộp I”.

\(B\): “lấy được viên bi đỏ của hộp II”.

\(C\): “lấy được viên bi đỏ của hộp III”.

Xác suất lấy được viên bi đỏ của hộp I: \(P\left( A \right) = \frac{a}{{a + 2}}\).

Xác suất lấy được viên bi đỏ của hộp II: \(P\left( B \right) = \frac{b}{{b + 3}}\).

Xác suất lấy được viên bi đỏ của hộp III: \(P\left( C \right) = \frac{6}{{6 + 4}} = 0,6\).

Gọi biến cố \(D\): “lấy ra ít nhất một viên bi đỏ” \( \Rightarrow \overline D \): “lấy ra được 3 viên bi xanh”.

\( \Rightarrow P\left( {\overline D } \right) = 1 - P\left( D \right) = 0,024\)

\( \Leftrightarrow \frac{2}{{a + 2}}.\frac{3}{{b + 3}}.\frac{4}{{10}} = 0,024 \Leftrightarrow \left( {a + 2} \right)\left( {b + 3} \right) = 100\)(1).

Xác suất lấy được cả 3 viên bi đỏ \(P\left( A \right).P\left( B \right).P\left( C \right) = 0,336 \Leftrightarrow \frac{a}{{a + 2}}.\frac{b}{{b + 3}}.0,6 = 0,336\).

\( \Leftrightarrow ab = 56\) (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 8\\b = 7\end{array} \right.\) (vì \(a,b\) là số nguyên).

Xác suất lấy được đúng 2 viên đỏ:

\(P\left( A \right).P\left( B \right).P\left( {\overline C } \right) + P\left( A \right).P\left( {\overline B } \right).P\left( C \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( B \right).P\left( C \right)\)

                                                        \( = 0,8.0,7.0,4 + 0,8.0,3.0,6 + 0,2.0,7.0,6 = 0,452 \simeq 0,45\).