Trong một hộp kín đựng 102 tấm thẻ như nhau được đánh số từ 1 đến 102. Lấy ngẫu nhiên ba tấm thẻ từ hộp. Có bao nhiêu cách lấy được ba tấm thẻ mà ba số ghi trên ba tấm thẻ đó lập thành một cấp số cộng.

Gọi biến cố A: “An làm đúng mỗi câu đề ôn tập ở mức độ dễ” \( \Rightarrow P(A) = 0,8\).

Biến cố B: “An làm đúng mỗi câu đề ôn tập ở mức độ trung bình” \( \Rightarrow P(B) = 0,6\).

Biến cố C: “An làm đúng mỗi câu đề ôn tập ở mức độ khó” \( \Rightarrow P(C) = 0,15\).

a) Sai. Xác suất để An làm ba câu thuộc ba loại và đúng cả ba câu là

\(P\left( {ABC} \right) = 0,8 \times 0,6 \times 0,15 = 0,072 = 7,2\% \).

b) Sai. Khi An làm 3 câu thuộc ba loại khác nhau. Xác suất để An làm đúng 2 trong số 3 câu là

\(P\left( {AB\overline C \cup A\overline B C \cup \overline A BC} \right) = 0,8 \times 0,6 \times 0,85 + 0,8 \times 0,4 \times 0,15 + 0,2 \times 0,6 \times 0,15 = 0,474\).

c) Đúng. Xác suất để An làm đúng 3 câu đủ ba loại là \(0,072\).

Xác suất để An làm sai 3 câu ở mức độ trung bình là \(0,4 \times 0,4 \times 0,4 = 0,064 < 0,072\).

Đáp án: 0,45.

Xét các biến cố \(A\): “lấy được viên bi đỏ của hộp I”.

\(B\): “lấy được viên bi đỏ của hộp II”.

\(C\): “lấy được viên bi đỏ của hộp III”.

Xác suất lấy được viên bi đỏ của hộp I: \(P\left( A \right) = \frac{a}{{a + 2}}\).

Xác suất lấy được viên bi đỏ của hộp II: \(P\left( B \right) = \frac{b}{{b + 3}}\).

Xác suất lấy được viên bi đỏ của hộp III: \(P\left( C \right) = \frac{6}{{6 + 4}} = 0,6\).

Gọi biến cố \(D\): “lấy ra ít nhất một viên bi đỏ” \( \Rightarrow \overline D \): “lấy ra được 3 viên bi xanh”.

\( \Rightarrow P\left( {\overline D } \right) = 1 - P\left( D \right) = 0,024\)

\( \Leftrightarrow \frac{2}{{a + 2}}.\frac{3}{{b + 3}}.\frac{4}{{10}} = 0,024 \Leftrightarrow \left( {a + 2} \right)\left( {b + 3} \right) = 100\)(1).

Xác suất lấy được cả 3 viên bi đỏ \(P\left( A \right).P\left( B \right).P\left( C \right) = 0,336 \Leftrightarrow \frac{a}{{a + 2}}.\frac{b}{{b + 3}}.0,6 = 0,336\).

\( \Leftrightarrow ab = 56\) (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 8\\b = 7\end{array} \right.\) (vì \(a,b\) là số nguyên).

Xác suất lấy được đúng 2 viên đỏ:

\(P\left( A \right).P\left( B \right).P\left( {\overline C } \right) + P\left( A \right).P\left( {\overline B } \right).P\left( C \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( B \right).P\left( C \right)\)

                                                        \( = 0,8.0,7.0,4 + 0,8.0,3.0,6 + 0,2.0,7.0,6 = 0,452 \simeq 0,45\).