Một cái ly nước hình hình trụ có chiều cao \(9\)cm. Lượng nước trong ly chiếm \(\frac{2}{3}\) thể tích ly nước. Bạn A đặt một hình lập phương vào miệng ly nước thì thấy một đỉnh của lập phương chạm vào mặt nước và đồng thời mô hình ly nước và hình lập phương cùng lấy trục ly nước làm trục đối xứng. Nếu ban đầu A đổ nước đầy ly thì sau khi đặt khối lập phương như trên thì lượng nước tràn ra là bao nhiêu cm khối (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục và bỏ qua độ dày của ly)?

Gọi biến cố A: “An làm đúng mỗi câu đề ôn tập ở mức độ dễ” \( \Rightarrow P(A) = 0,8\).

Biến cố B: “An làm đúng mỗi câu đề ôn tập ở mức độ trung bình” \( \Rightarrow P(B) = 0,6\).

Biến cố C: “An làm đúng mỗi câu đề ôn tập ở mức độ khó” \( \Rightarrow P(C) = 0,15\).

a) Sai. Xác suất để An làm ba câu thuộc ba loại và đúng cả ba câu là

\(P\left( {ABC} \right) = 0,8 \times 0,6 \times 0,15 = 0,072 = 7,2\% \).

b) Sai. Khi An làm 3 câu thuộc ba loại khác nhau. Xác suất để An làm đúng 2 trong số 3 câu là

\(P\left( {AB\overline C \cup A\overline B C \cup \overline A BC} \right) = 0,8 \times 0,6 \times 0,85 + 0,8 \times 0,4 \times 0,15 + 0,2 \times 0,6 \times 0,15 = 0,474\).

c) Đúng. Xác suất để An làm đúng 3 câu đủ ba loại là \(0,072\).

Xác suất để An làm sai 3 câu ở mức độ trung bình là \(0,4 \times 0,4 \times 0,4 = 0,064 < 0,072\).

Đáp án: 2550.

Giả sử ba tấm thẻ lấy ra có số ghi là \(a,b,c\) theo thứ tự tăng dần (\(a < b < c\)).

Để ba số này lập thành một cấp số cộng, ta phải có tính chất: \(a + c = 2b\)

Điều này có nghĩa là tổng của số đầu \(a\) và số cuối \(c\) phải là một số chẵn (vì \(2b\) luôn chẵn).

Để tổng \((a + c)\) là số chẵn, thì \(a\) và \(c\) phải cùng tính chẵn lẻ (tức là cùng là số chẵn hoặc cùng là số lẻ).

Nhận xét quan trọng: Khi bạn chọn được 2 số đầu và cuối (\(a\) và \(c\)) có cùng tính chẵn lẻ, thì số ở giữa (\(b = \frac{{a + c}}{2}\)) sẽ là duy nhất và chắc chắn là số nguyên nằm giữa \(a\) và \(c\).

\( \Rightarrow \) Bài toán quy về việc: Chọn ngẫu nhiên 2 tấm thẻ từ tập hợp sao cho 2 tấm đó cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

Tập hợp \(S = \{ 1,2,3,...,102\} \) có 102 phần tử.

Số lượng số lẻ là: \(\{ 1,3,5,...,101\} \). Số lượng = \(\frac{{101 - 1}}{2} + 1 = 51\) số.

Số lượng số chẵn là: \(\{ 2,4,6,...,102\} \). Số lượng = \(\frac{{102 - 2}}{2} + 1 = 51\) số.

Để có 3 số lập thành cấp số cộng, ta cần chọn 2 số đầu cuối \(a,c\) từ cùng một nhóm (chẵn hoặc lẻ):

+ Trường hợp 1: Chọn 2 số đều là số lẻ.

Số cách chọn 2 số từ 51 số lẻ là tổ hợp chập 2 của 51: \(C_{51}^2 = \frac{{51.50}}{2} = 1275{\rm{ (c\'a ch)}}\).

(Ví dụ: Chọn 1 và 5 thì số ở giữa chắc chắn là 3. Bộ là 1, 3, 5)

+ Trường hợp 2: Chọn 2 số đều là số chẵn.

Số cách chọn 2 số từ 51 số chẵn là tổ hợp chập 2 của 51: \(C_{51}^2 = \frac{{51.50}}{2} = 1275{\rm{ (c\'a ch)}}\).

(Ví dụ: Chọn 2 và 10 thì số ở giữa chắc chắn là 6. Bộ là 2, 6, 10)

Bước 3: Tổng hợp kết quả.

Tổng số cách lấy được ba tấm thẻ lập thành cấp số cộng là:

1275 + 1275 = 2550 cách